Teorema de Tales: proporção aplicada à Geometria

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Três paralelas cortadas por duas transversais, formando quatro segmentos. Essa imagem, como a do desenho à esquerda, é a representação mais clássica do teorema de Tales. Os exercícios escolares normalmente apresentam essa figura e dão valores a três dos quatro segmentos. O desafio do aluno é descobrir o segmento cuja medida é proporcional ao outro e encontrar o número desconhecido fazendo uso da regra de três. Se o professor não colocar novos problemas para serem resolvidos nas aulas, o ensino do teorema parece finalizado. Mas é possível ir além - afinal de contas, há aplicações muito mais amplas e instigantes (leia diversos problemas e possíveis equívocos na próxima página). Em linhas gerais, o teorema de Tales é a proporcionalidade aplicada à geometria. "Por isso, é essencial diagnosticar se os alunos entendem a ideia de proporcionalidade ou precisam consolidar conceitos geométricos", diz o professor Luiz Marcio Imenes, mestre em Educação Matemática e autor de livros didáticos. Como visto na primeira reportagem desta série, na edição de agosto de 2010, a proporcionalidade ocorre quando existe a mesma variação (chamada de razão) de valores em duas grandezas. Por exemplo: se a medida de um lado da figura dobra, o outro também deve dobrar. Quando um deles triplica, ocorre a mesma mudança com o outro. Uma forma de retomar o assunto é propor problemas em que exista ou não a proporcionalidade, ou casos em que as variações não são aleatórias. Também é fundamental garantir que os alunos entendam os termos geométricos usados em Tales (paralelas, transversais e segmentos).

Passada essa etapa, introduza o teorema de Tales com a análise do desenho de um triângulo que tenha lados de medidas diferentes cortado na metade de sua altura por uma linha paralela à base. É possível ver que o lado que mede, digamos, 12 centímetros, ficará com duas partes de 6 centímetros e o lado de 18 centímetros vai ter outros dois segmentos com 9 centímetros. Em seguida, uma sugestão é mostrar o mesmo triângulo com uma paralela que cruze o desenho formando segmentos de 10 e 2 centímetros em um dos lados e 15 e 3 centímetros no outro. Diante desse contexto, a turma precisa descobrir qual a relação entre os segmentos e os lados. A chave será encontrar a razão de proporcionalidade entre os segmentos de um mesmo lado, o que é calculado dividindo 10 por 2 ou 15 por 3 (razão 5). Aí, então, discuta com os alunos uma regra básica do teorema de Tales: existe a proporção entre segmentos de transversais que são delimitadas por paralelas.

De olho na proporção das figuras geométricas, os adolescentes podem encontrar diversas medidas (leia a sequência didática). Ao pedir que o aluno trace uma transversal de 4 centímetros e a divida em 3 e 1 centímetros por uma paralela, ele pode concluir que a outra transversal terá um segmento com tamanho três vezes maior que a outra. Esse e outros raciocínios são válidos - o importante é intermediar as discussões e tomar os erros e acertos como um material de debate com a turma.