Introdução
Sob o tema Tratamento da Informação, podemos, ao longo do Ensino Fundamental, formular questões que possibilitem tratar de modo atraente as questões numéricas, as questões de análise e de interpretação de dados e as questões envolvendo os computadores. Dessa forma, aproximamos o estudante, de modo intencional, sério e conseqüente, da enorme quantidade de informações que recebe em seu dia-a-dia, fornecendo a ele elementos seguros para analisar situações que envolvam o tratamento numérico e estatístico de dados. Assim, damos significado à Matemática da sala de aula e contribuímos em nossos cursos para a formação de pessoas críticas e em condições de exercer plenamente sua cidadania.
Objetivos
Reflexão, análise e fixação de critérios que possibilitem a resolução de problemas de contagem como introdução ao cálculo combinatório.
Conteúdo específico
Introdução à Análise Combinatória.
Ano
8º e 9º
Tempo estimado
Quatro aulas
Material necessário
Lápis, papel, borracha, calculadora comum, livro didático de Matemática.
Desenvolvimento
1ª aula Apresente situações envolvendo contagens não elementares e estratégias de enfrentamento matemático. Contagens elementares, por correspondência biunívoca entre o conjunto de elementos a serem contados e o conjunto dos números naturais N*= {1,2,3,4,.....} podem ser exemplificadas como início da abordagem. Por exemplo, a contagem um a um dos alunos da classe e também por filas organizadas com o mesmo número de alunos. Em seguida, passe para problemas como os propostos a seguir:
O Problema das três cidades Três cidades A, B e C são ligadas por estradas. Três estradas ligam A e B. Quatro estradas ligam B e C. Não há estradas ligando A e C diretamente. De quantos modos diferentes pode-se viajar de A até C, passando por B?
Uma primeira estratégia é representar as informações contidas no enunciado:
Nomear os caminhos que ligam A e B por 1, 2 e 3. Nomear os caminhos que ligam B a C por a,b,c,d. E montar uma "árvore" de possibilidades, como abaixo: 
Então temos os percursos: (1,a);(1,b);(1,c);(1,d); (2,a);(2,b);(2,c);(2,d); (3,a);(3,b);(3,c);(3,d).
Concluímos que há doze possibilidades diferentes de viagem de A para C, passando por B. Mas observamos que12 é o produto de 3 por 4, e que essa pode ser uma segunda estratégia de enfrentamento da questão.
Proponha a seguir uma segunda questão:
De quantas maneiras diferentes se pode viajar de A para C e voltar de C para A, sem que se passe duas vezes pela mesma estrada?
Uma estratégia a sugerir aos alunos é decompor o problema em quatro etapas:
Etapa 1: viajar de A para B--- 3 possibilidades.
Etapa 2: viajar de B para C--- 4 possibilidades.
Etapa 3: viajar de C para B--- 3 possibilidades já que uma das 4 foi usada na etapa 2.
Etapa 4: viajar de B para A--- 2 possibilidades já que uma das 3 foi usada na etapa 1.
Portanto 3x4x3x2 = 72 é a resposta da questão.
O problema da bandeira Uma bandeira de papel é formada por sete faixas horizontais de mesma largura. Para pintar as faixas da bandeira temos três cores: branco, preto e vermelho. De quantos modos podemos pintar essa bandeira, sem que duas faixas consecutivas tenham a mesma cor?
Com exceção da primeira faixa que pode ser pintada com qualquer uma das três cores, todas as demais podem ser pintadas com qualquer uma de duas cores, já que só não se pode usar a mesma cor usada na faixa anterior.
3 (primeira faixa) x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 = 192
O problema do armazém Um armazém tem dez portas, todas elas fechadas. De quantos modos diferentes pode-se abrir esse armazém?
Resolução: para cada porta há duas possibilidades: abri-la ou mantê-la fechada. Desse modo210= 1024 é o total de possibilidades. Uma das 1024 possibilidades corresponde à escolha de se manter as dez portas fechadas. Portanto há 1023 modos diferentes de abrir o armazém.
Um problema de números No sistema decimal de numeração quantos são os números de três algarismos distintos?
Nesse caso, além da restrição que impõe algarismos distintos há também o fato de o algarismo das centenas não poder ser zero. Então temos9x9x8 = 648 números. Isso quer dizer que de 101 a 999 temos 9x10x10 = 900 números de três algarismos e que, desse total,648 não apresentam repetição de algarismos enquanto os252 restantes apresentam algum tipo de repetição.
Em seguida proponha as seguintes questões: dos 648 números, quantos são ímpares (320)? Quantos são pares (328)?Essas duas questões proporcionam boa discussão na classe. Para ser ímpar um número deverá ter como algarismo da unidade 1,3,5,7 ou9. Logo, há5 possibilidades para compor a unidade. Para a centena, restam 9 algarismos, estando entre eles o 0, que não pode ocupar a posição. Para a centena, temos então apenas 8 possibilidades. Resta a dezena com as demais 8 possibilidades.
Os pares podem ser obtidos por diferença, mas é interessante tentar encontrar o total separando as etapas.
Esse formato de questão pode suscitar perguntas a ser propostas como trabalho. Por exemplo: se tomarmos todos os 648 números em ordem crescente, o 1º será o 123 e o 648º será o987. Que posição ocupará na ordem o numero 648? Dos252 que apresentam algum tipo de repetição, quantos são palíndromos (que escritos na ordem contrária não se alteram, como 252, por exemplo)?
Qual será o valor da soma de todos os648 números?
O problema da banheira Quantas gotas dágua cabem numa banheira? Dê uma estimativa do total de gotas, justificando a resposta.
Proponha esse problema ao final da aula, de modo que os alunos o investiguem em casa e tragam a resposta na aula seguinte. A idéia é estimar o tamanho de uma banheira e o volume de água que se pode colocar nela, bem como o volume de uma gota dágua. Uma estratégia é transformar o volume de água de litros para gotas, supondo que 1 mililitro corresponda a 20 gotas:
300 litros = 300x 1 litro = 300x 1000 mililitros =300000 x 1 mililitro = 300000x 20 gotas = 6 000 000 de gotas.
2ª aula Compare as respostas obtidas e os critérios usados pelos alunos para resolver o problema proposto na aula anteriro, fazendo um painel na lousa. Valorize todas as respostas e tentativas.
Nota do autor: certa vez, propus esse problema a uma de minhas turmas. Um aluno achou a questão engraçada e me disse que poderia caber uma só gota, se ela fosse uma "gotona". Perguntei se ele havia visto alguma vez essa tal gotona. A discussão que se seguiu foi sensacional e tomou todo o intervalo: afinal por que não existe uma "gotona" de água? Acabamos envolvendo o professor de Ciências que, estava trabalhando questões da Física com a mesma turma.
A cada aula, é interessante perguntar aos alunos se os problemas apresentados têm algo em comum com os das aulas anteriores.
Formalize o Princípio Multiplicativo da Contagem, do modo que é apresentado nos livros de matemática do Ensino Médio, como estratégia básica para resolver problemas de contagem extensos e, se for o caso, selecione mais alguns problemas para que os alunos resolvam. Ao final da aula o proponha que pensem e procurem analisar como é que se pode ter, por exemplo, uma estimativa segura para o total de pessoas que vivem hoje no Brasil.
3ª aula Divida a classe em grupos de quatro alunos para uma atividade em que sejam desafiados a dar respostas e estimativas de quatro situações problema:
Na primeira, use um enunciado na linguagem corrente. Por exemplo: no sistema atual de emplacamento de veículos qual é o tamanho máximo da frota?
Na segunda, envolva figuras geométricas. Por exemplo: quantas diagonais tem um icoságono regular (polígono de vinte lados)? Ou outro, equivalente: Em um grupo de vinte pessoas, em que cada pessoa cumprimenta outra apenas uma vez, qual é o total de cumprimentos distintos possíveis? Ou, ainda: com vinte times, quantos jogos podem ser realizados em um campeonato de um turno só?
Na terceira, envolva estimativa. Por exemplo: se fizermos uma pilha de folhas de papel sulfite A4, quantas folhas seriam necessárias para que a pilha chegasse à Lua?
Na quarta, use o baralho. Por exemplo: qual é a chance de, retirando três cartas de um baralho, uma após a outra, sem reposição, se conseguir três cartas de copas?
Cada grupo poderá entregar um relatório único para ser utilizado como primeiro instrumento de avaliação da atividade.
Avaliação
Na quarta aula, proponha uma avaliação individual contendo questões relativas ao conteúdo estudado. Importante que nessa avaliação você abra espaço para análise e estimativa e que o aluno possa se expressar raciocinando. Para compor uma avaliação final de cada aluno, leve em conta também a participação de cada um nos trabalhos em grupo.
Em continuidade, seria interessante planejar, ainda no terreno do Tratamento da Informação, um bloco de aulas para o trabalho com análise e interpretação de gráficos em que se possa trabalhar com dados estatísticos e algumas questões de probabilidades.
Consultoria: José Maria Giroldo
Professor de Matemática e fundador do Colégio Equipe - São Paulo- SP.
Rodrigo Petrillo - Postado em 18/01/2010 01:05:52
Vou tentar lhe explicar: 1) No sistema decimal de numeração quantos são os números de três algarismos distintos? Bem, nós temos no total 10 algarismos de 0 a 9, e são eles que vamos utilizar. Se são distintos, eles não podem se repetir. Primeiro, como o número deve ter três algarismos, vamos colocar três ¿bases¿. Usaremos o princípio multiplicativo, pois teremos as possibilidades da primeira e da segunda e da terceira base. ___ x ___ x ___ Na primeira base, o zero não poderá fazer parte, pois o número deve ter três algarismos. Logo terei nove possibilidades. 9 x ___ x ___ Na segunda base, o zero voltará, pois aí não influenciará na questão do número ter três algarismos. Só que algum outro algarismo já foi tirado na primeira base, portanto teremos também 9 possibilidades. 9 x 9 x ___ Finalmente na terceira base, já saiu um algarismo para primeira base, outro para a segunda sobrando, portanto, 8 possibilidades (10 ¿ 2). 9 x 9 x 8 = 648 possibilidades. 2) No sistema decimal de numeração quantos são os números de três algarismos distintos ímpares? Continuamos com as três bases, pois o número continua tendo três algarismos. Só que agora nós temos a restrição de que o número seja ímpar. Sempre neste tipo de problema, devemos começar pela restrição que, no caso, faz parte da terceira base (a última) que exatamente determinará se o número é par ou ímpar. Logo, na terceira base, temos 5 possibilidades, pois para o número ser ímpar ele só poderá terminar em 1, 3, 5, 7 ou 9. ___ x ___ x 5 Agora, voltamos para a primeira base. O zero não pode fazer parte, pois o número tem que ter três algarismos e, como outro algarismo já foi escolhido para a terceira base, sobraram 8 possibilidades. 8 x ___ x 5 Finalmente, na segunda base, o zero pode voltar e, portanto, dos 10 algarismos, dois já foram escolhidos, um para a terceira base e outro para primeira, restando 8 possibilidades. 8 x 8 x 5 = 320 3) No sistema decimal de numeração quantos são os números de três algarismos distintos pares? Também continuamos com as três bases, pois o número continua tendo três algarismos. Só que agora nós temos a restrição de que o número seja par. Sempre neste tipo de problema, devemos começar pela restrição que, no caso, faz parte da terceira base (a última) que exatamente determinará se o número é par ou ímpar. Começaremos então pela terceira base. Para o número ser par ele deve terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. Só que temos o problema do zero. Se eu supuser todas essas 5 possibilidades, o zero pode não fazer parte dela e poderá sair na primeira base, o que não é permitido. Para evitar essa confusão, vou separar em duas partes: 1ª: Supomos que o algarismo que saiu na terceira base foi o zero. Logo teremos uma possibilidade para a terceira base, que é o próprio zero. ___ x ___ x 1 Agora, voltando para primeira base, como o zero já saiu, não teremos problema algum. Sobraram 9 possibilidades. 9 x ___ x 1 Finalmente para a segunda base, como dois algarismos já saíram, sobraram 8 possibilidades. 9 x 8 x 1 = 72 2ª: Supomos que na terceira base poderemos tirar 2, 4, 6 ou 8. Logo teremos 4 possibilidades para a terceira base. ___ x ___ x 4 Agora, voltando para a primeira base, um algarismo já saiu na terceira base e eu não posso usar o zero, pois o número deve ter três algarismos. Então sobraram 8 possibilidades. 8 x ___ x 4 Finalmente para a segunda base, o zero pode voltar e dois algarismos já foram escolhidos. Logo teremos também 8 possibilidades. 8 x 8 x 4 = 256. Resultado total da 1ª ou da 2ª: 72 + 256 = 328 OBS: Somando o resultado da questão 2 (320) com o da questão 3 (328) teremos o resultado da questão 1 (648), que engloba as outras duas.
Nome não registrado - Postado em 11/09/2009 23:26:10
No sistema decimal de numeração quantos são os números de três algarismos distintos? como para impar da 320 e para par da 328?!?!?! ... Para ser ímpar um número deverá ter como algarismo da unidade 1,3,5,7 ou9. Logo, há5 possibilidades para compor a unidade. Para a centena, restam 9 algarismos, estando entre eles o 0, que não pode ocupar a posição. Para a centena, temos então apenas 8 possibilidades. Resta a dezena com as demais 8 possibilidades. PORQUE TEM DE INICIAR COM UNIDADDE E DEPOIS COM CENTENA E NAO PELA DEZENA????.. SE FIZER DARA 315... Os pares podem ser obtidos por diferença, mas é interessante tentar encontrar o total NA DIFERENÇA NA DA CERTO.... GOSTARIA MUITO DE OBTER AS RESPOSTAS ..MUITO DIFICIL DE ENTENDER.. OBRGADO
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