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Prova Brasil de Matemática - 9º ano: números e operações/álgebra e funções

A análise e as orientações didáticas a seguir são de Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz Moura, professora de Matemática da Escola da Vila, em São Paulo, que indicou atividades diversificadas para aprimorar as habilidades da turma

Saiba mais sobre a Prova Brasil 2011

Localizar números racionais (Descritor 17)

Observe os números que aparecem na reta abaixo.

O número indicado pela seta é

(A) 0,9.               (B) 0,54.                (C) 0,8.                 (D) 0,55.

Análise
Uma alternativa para responder é contar. Outra é associar os números dados às medidas: 0,5 como substituto de 0,5 metro e 0,6 como 0,6 metro, ou 60 centímetros, o que dá um significado aos valores intermediários.

Orientações
Utilize problemas como este, ora representando o número racional na forma fracionária, ora na decimal. Peça que os alunos escrevam cinco números entre 2 e 3. Depois, cinco entre 2,5 e 3 e assim sucessivamente. A continuidade da atividade pode ser a interpolação de números racionais entre duas frações com denominadores iguais a potências de 2. Por exemplo, inserir três frações entre 1/2 e 3/4, para em seguida, usar denominadores quaisquer.

Calcular números inteiros (Descritor 18)

Ao resolver corretamente a expressão -1 - (-5).(-3) + (-4).3 : (-4), o resultado é

(A) -13.                  (B) -2.                (C) 0.                (D) 30.

Análise
Para resolver o desafio,deve-se dominar as regras relativas aos sinais resultantes de alguns cálculos e saber que numa expressão resolvem-se primeiro as divisões e as multiplicações e, depois, as adições e as subtrações.

Orientações
Durante o trabalho, sugira que a turma se apoie na reta numérica, que serve de controle na resolução de problemas. As ideias de número simétrico e número oposto também ajudam nessa construção. Explore o fato de a soma de um número inteiro com seu simétrico ser zero (3 + (-3) = 0). Exemplo: a compreensão do número oposto facilita a resolução de expressões aritméticas. Assim - (-4) = + 4, ou seja, o oposto de -4 é o número +4.

Calcular números naturais (Descritor 19)

Pedro e João jogaram uma partida de bolinhas de gude. No final, João tinha 20 bolinhas, que correspondiam a 8 bolinhas a mais que Pedro. João e Pedro tinham juntos

(A) 28 bolinhas.
(B) 32 bolinhas.
(C) 40 bolinhas.
(D) 48 bolinhas.

Análise
Aqui é necessário compreender que Pedro tem 8 bolinhas a menos que João e saber quantas são elas para depois somar as bolinhas dos dois.

Orientações
Explore problemas que envolvam as expressões "a mais" e "a menos", que pode gerar dúvidas. A associação direta com a adição (pelo uso da palavra mais) e da subtração (com relação à palavra menos) precisa ser descartada. Logo, vale a pena trabalhar muito os enunciados, dando diferentes sentidos a essas expressões e colocando em discussão o contexto e não simplesmente usar a intuição, por vezes de forma equivocada, associando a operação ao texto escrito.

Calcular número inteiros (Descritor 20)

Cíntia conduzia um carrinho de brinquedo por controle remoto em linha reta. Ela anotou em uma tabela os metros que o carrinho andava cada vez que ela acionava o controle. Escreveu valores positivos para as idas e negativos para as vindas.

Após Cíntia acionar o controle pela sexta vez, a distância entre ela e o carrinho era de

(A) -11 m.                   (B) 11 m.                    (C) -27 m.                      (D) 27 m.

Análise
É necessário reler a tabela, compreender as informações e, em seguida, decidir qual a operação indicada para solucionar a situação-problema. O aluno pode agrupar todos os valores positivos e todos os negativos e em seguida calcular ou resolver as operações na ordem em que aparecem.

Orientações
Apresente aos estudantes problemas com o objetivo de que analisem os números e decidam qual a melhor estratégia de resolução - sem que seja necessário fazer os cálculos. Em seguida, discuta coletivamente os prós e os contras de cada uma delas. Dessa forma, o aluno pode escolher a estratégia que achar mais indicada e com a qual se identifica melhor. Com isso, terá um controle maior da resolução.

Calcular frações (Descritor 21)

A fração 3/100 corresponde ao número decimal

(A) 0,003.                (B) 0,3.                 (C) 0,03.                 (D) 0,0003.

Análise
Os números racionais podem ser apresentados na forma fracionária e na decimal. A transformação de uma em outra está associada à leitura da fração relacionada a décimos, centésimos, milésimos etc. Esse conhecimento
é a base para acertar o item.

Orientações
Proponha atividades com a multiplicação e a divisão por 10, 100 e 1.000 para que a turma aprenda que as posições à direita da vírgula representam décimos, centésimos etc. e conservam as relações de agrupamentos de 10 herdadas do nosso sistema de numeração decimal.

Identificar frações (Descritor 22)

Nas figuras abaixo, as áreas escuras são partes tiradas do inteiro. A parte escura que equivale aos 3/5 tirados do inteiro é

(A) (B) (C) (D)


Análise
Ao ler a fração, é necessário reconhecer quais círculos foram divididos em cinco partes e, entre eles, localizar em que figura a parte escura corresponde a três.

Orientações
Colocar os jovens para pensar sobre o significado dos conceitos matemáticos é um exercício muito importante. Um exemplo: após discutir o tema em sala, peça que escrevam um texto explicando para uma criança o que é 3/5. A relação parte/todo é apenas um dos significados de um número racional na forma fracionária. Discuta também o fato de uma fração poder demonstrar o resultado de uma divisão. Dessa maneira, está ligada ao quociente de dois números naturais. Lembre que ela ainda representa uma constante de proporcionalidade, como uma escala, uma velocidade ou uma porcentagem.

Reconhecer fraçoes equivalentes (Descritor 23)

Observe as figuras:

Pedrinho e José fizeram uma aposta para ver quem comia mais pedaços de pizza. Pediram duas pizzas de igual tamanho. Pedrinho dividiu a sua em oito pedaços iguais e comeu seis. José dividiu a sua em doze pedaços iguais e comeu nove. Então,

(A) Pedrinho e José comeram a mesma quantidade de pizza.
(B) José comeu o dobro do que Pedrinho comeu.
(C) Pedrinho comeu o triplo do que José comeu.
(D) José comeu a metade do que Pedrinho comeu.

Análise
Neste problema, o aluno deve reconhecer a equivalência entre 6/8 e 9/12. Da maneira apresentada, com os desenhos das pizzas, ele pode lançar mão da representação gráfica, colorindo cada uma delas conforme dito no enunciado e, assim, concluir que as partes coloridas são iguais. O esperado, no entanto, é que ele saiba simplificar ambas as frações (6/8=3/4 e 9/12=3/4 ).

Orientações
Em sala, proponha desafios como o pedido na prova e outros para dar um novo sentido a esse conceito. Depois, proponha questões em que a figura não aparece. Assim, as crianças mobilizam o conceito sem o apoio de numa representação gráfica, o que aumenta o grau do desafio.

Reconhecer números decimais (Descritor 24)

O número decimal que é decomposto em 5 + 0,06 + 0,002 é

(A) 5,62.               (B) 5,602.                (C) 5,206.                (D) 5,062.

Análise
Para resolver o item, é preciso reconhecer os números decimais como um sistema no qual a primeira casa depois da vírgula representa os décimos, a segunda, os centésimos, a terceira, os milésimos etc.

Orientações
Além de trabalhar o significado de cada posição na escrita decimal, explicite relações aritméticas nela e o valor posicional de cada algarismo (5 inteiros, 6 centésimos e 2 milésimos). Para trabalhar o valor posicional, programe atividades usando a calculadora.

Calcular frações (Descritor 26)

A estrada que liga Recife a Caruaru será recuperada em três etapas. Na primeira etapa, será recuperado 1/6 da estrada e na segunda etapa 1/4 da estrada. Uma fração que corresponde à terceira etapa é

(A) 1/5.                (B) 5/12.                (C) 7/12.                (D) 12/7.

Análise
Aqui, espera-se que o aluno procure uma fração equivalente a cada uma das que foram dadas para efetuar a soma. Ele precisa levar em conta o fato de o denominador ser, ao mesmo tempo, um número múltiplo de 4 e de 6. Em seguida, deve considerar a fração que falta para completar o inteiro.

Orientações
Vale a pena trabalhar problemas em que as frações superem o inteiro ou não o completem. Exemplo: Maria leu 1/3 de um livro num dia e 1/4 no outro. Contou para Pedro, que disse: "Que bom! Faltam apenas 2/5 para você terminar!" Pedro está correto? Por quê? Promova a discussão coletiva e observe os argumentos da garotada, que deve concluir que o menino estava errado, já que a soma das frações (59/60) não completa o inteiro.

Calcular números aproximados (Descritor 27)

O número irracional √7 está compreendido entre os números

(A) 2 e 3           (B) 13 e 15          (C) 3 e 4           (D) 6 e 8

Análise 
A solução para a questão envolve intercalar o número 7 entre os dois números quadrados perfeitos mais próximos a ele, ou seja, 4 e 9. Matematicamente, podemos escrever 
4 < 7 < 9, ou seja, √4 < √7 < √9 => 2 < √7 < 3.

Orientações 
Uma atividade interessante pode ser pedir a localização na reta numérica do valor de raízes de índice par. Para isso, o uso de compasso e do teorema de Pitágoras é fundamental. Esses recursos permitem a visualização geométrica do número racional, o que facilita a compreensão dele. Quando o aluno consegue enxergar na reta onde o número está, fica mais fácil compreender sua existência.

Calcular porcentagem (Descritor 28)

Distribuímos 120 cadernos entre as 20 crianças da 1ª série de uma escola. O número de cadernos que cada criança recebeu corresponde a que porcentagem do total de cadernos?

(A) 5%                    (B) 10%                    (C) 15%                    (D) 20%

Análise
A solução do desafio se dá em duas etapas: a primeira é determinar quantos cadernos cada criança recebeu com o cálculo 120 : 20 = 6. Se são seis cadernos de 120, pode-se estabelecer a proporção em termos percentuais. Os 120 representam o todo (100%). Assim, 6 de 120 correspondem a x% de 100%. 6/120 = x/100, ou seja, 1/20 = x/100. Portanto, x = 5.

Orientações
Proponha atividades com porcentagem associadas ao trabalho com frações equivalentes e representações na forma decimal dos números racionais. Isso facilita a compreensão da relação entre as diferentes escritas e também que o valor relacionado a elas é equivalente.

Calcular proporções (Descritor 29)

1. No supermercado Preço Ótimo, a manteiga é vendida em caixinhas de 200 gramas. Para levar para casa 2 quilogramas de manteiga, Marisa precisaria comprar

(A) 2 caixinhas.
(B) 4 caixinhas.
(C) 5 caixinhas.
(D) 10 caixinhas.

2. O desenho de um colégio foi feito na seguinte escala: cada 4 cm equivalem a 5m. A representação ficou com 10 cm de altura. Qual é a altura real, em metros, do colégio?

(A) 2,0.                    (B) 12,5.                   (C) 50,0.                  (D) 125,0.

Análise
A resposta à primeira questão envolve o seguinte raciocínio: se uma caixinha corresponde a 200 gramas, 10 correspondem a 2.000 gramas = 2 quilos. Com relação ao segundo item, uma das maneiras para estabelecer a relação de proporcionalidade é encontrar o equivalente a uma unidade: 4 centímetros do desenho correspondem a 5 metros e 1 centímetro corresponde a 1,25 (5 : 4). Portanto, 10 centímetros equivalem a 12,5 metros (10 x 1,25).

Orientações
Sobre a primeira questão, em sala, trabalhe com conversão de unidades para que o aluno desenvolva essa habilidade. Isso pode ser feito em exercícios de transformação direta, como passar 3 quilômetros para metros, ou dentro de uma situação-problema em que a resolução obrigue à conversão. Se ele compreende essa equivalência entre as unidades e seus múltiplos e submúltiplos, fica fácil estabelecer a relação de proporcionalidade. Sobre o segundo item, proponha atividades envolvendo escala, velocidade e porcentagem em que se possa explorar duas maneiras de resolver o problema, sendo que cada uma delas tem suas vantagens, dependendo do problema a ser resolvido. Exemplo: em uma maquete de um prédio a porta de entrada mede 2 centímetro. Se o tamanho real da porta é de 2 metros, qual foi a escala utilizada para construir a maquete?

Calcular expressão algébrica (Descritor 30)

Dada a expressão: 

Sendo a = 1, b = -7 e c = 10, o valor numérico de x é

(A) -5.                    (B) -2.                    (C) 2.                   (D) 5.

Análise
O item requer recuperar a hierarquia das operações e inserir corretamente na Fórmula de Bháskara, apresentada na questão, cada valor fornecido, não se esquecendo de respeitar os sinais que esses números trazem consigo.

Orientações
Essa questão retoma a resolução de expressões numéricas apoiando-se em uma fórmula conhecida pelos alunos (Bháskara). Ela trabalha também a hierarquia das operações, de forma combinada. Para tratar do tema em classe, varie os números que serão substituídos na fórmula, usando racionais na forma fracionária e na forma decimal. Variando o campo numérico, muda também o grau de dificuldade da questão.

Identificar equações (Descritor 34)

Lucas comprou 3 canetas e 2 lápis, pagando R$ 7,20. Danilo comprou 2 canetas e 1 lápis, pagando R$ 4,40. O sistema de equações do 1º grau que melhor representa a situação é



Análise
Para representar, matematicamente, a situação descrita no enunciado do problema, deve-se reconhecer que cada frase descreve uma equação linear de duas variáveis (nesse caso, canetas e lápis) e que o conjunto solução do sistema está relacionado com os valores que satisfazem ao mesmo tempo ambas as equações.

Orientações
Aborde esse conteúdo com atividades de representação geométrica das equações lineares, apoiando-se na ideia de função como relação de dependência entre duas variáveis. Depois, discuta o significado gráfico (ou geométrico) da solução de um determinado sistema de equações.É possível fazer as construções dos gráficos de diferentes funções usando softwares gratuitos, como o Graphmatica e o Geogebra

Identificar relação entre representações algébrica e geométrica (Descritor 35)

Observe o gráfico abaixo.



O gráfico representa o sistema

Análise
Primeiro, é preciso identificar cada uma das equações de primeiro grau com duas variáveis. Em seguida, entender que a solução do sistema é o ponto do plano cartesiano (x; y) que ao mesmo tempo satisfaz ambas as equações e está representado pela intersecção das retas. Ainda é possível utilizar a resolução algébrica, obtendo 
x = 2 e y = 1.

Orientações
Antes de apresentar o sistema de duas equações com duas incógnitas, discuta o número de soluções possíveis para uma equação. Por exemplo, y = x - 1 é uma equação de 1º grau com duas variáveis que pressupõem infinitas possibilidades de solução. Depois, peça que os jovens representem graficamente esse conjunto. Assim, ao associar uma segunda equação, fi ca mais fácil para o aluno entender o significado da intersecção das retas. Sistemas sem solução ou com infinitas, quando representados graficamente, ganham um novo significado.

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Publicado em Edição Especial Prova Brasil, Abril 2011.
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