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Produtos notáveis

Esses produtos matemáticos nem sempre são compreendidos pelo grupo. Saiba como reverter isso, esclarecendo como e por que funcionam

Bianca Bibiano

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=== PARTE 1 ====
=== PARTE 2 ====
=== PARTE 3 ====

Enunciados, respostas equivocadas e análises
Observe nos casos abaixo problemas que envolvem o conceito de produtos notáveis em suas diferentes representações. Veja as soluções propostas por alunos e as possíveis análises

Resolva as operações (5 + 3)² e (5 - 3)².

(5 + 3)² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
e
(5 - 3)² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16


Comentário O estudante usa um conhecimento construído adequadamente - a propriedade distributiva da adição aplicada à multiplicação - em um contexto no qual ele não é válido. Repare que ele aplicou o expoente 2 para cada termo da expressão, demonstrando que não compreendeu a propriedade adequada para trabalhar com o produto notável, que é a fatoração. Ou seja, o correto é fazer 25 + (2 x 5 x 3) + 9, que resulta em 64 e 25 - [2 x 5 x (-3)] +9, o que resulta 4.


Se possível, fatore as seguintes expressões:
a) 16e² + 16e + 4
Tendo 16e² + 16e + 4, podemos dizer que 16e² = (4e) (4e) = (4e)² e que 4 = (2) (2) = 2² Sendo assim, tenho (4e)² + 16e + 2², que é um produto notável como a² + 2ab + b², que é (a + b)².
Então, (4e)² + 16e + 2² fatorado é (4e +2)²


b) 9z4 - 12z²y + 25y²
9z4 = (3z)(3z) = 3z²
25y² = (5y)(5y) = 5y²
(3z)² - 12z²y + 5y²
(3z + 5y)²


Comentário O estudante desenvolveu corretamente o cálculo na questão a e aplicou as mesmas regularidades em b, o que fez com que ele errasse em três aspectos:
1) O cálculo da potenciação: 9z4 não é o mesmo que (3z)(3z), muito menos que (3z)². O correto é (3z²)².
2) O emprego do sinal da operação, usando o quadrado da soma em vez do quadrado da diferença.
3) Fatoração propriamente dita, pois (3z + 5y)² não é o mesmo que 9z4 - 12z²y + 25y², e sim 9z² + 30zy + 25y².
Ou seja, b é um trinômio impossível de ser fatorado.


Na figura abaixo, o lado do quadrado ABCD mede x e o lado do quadrado CMNP mede y. Observe e responda:

quadrado

a) Indique o produto que fornece a área da figura I.
(x - y) x = x² - xy
x² - xy


b) Indique o produto que fornece a área da figura II.
(x-y) y = xy - y²
xy-y²


c) Indique a soma das áreas das figuras I e II.
x² - xy + xy - y²
xy - yx = (x² - y²)

d) Escreva a área da figura amarela como diferença de dois quadrados.
x² - y

Comentário O estudante resolveu corretamente as questões a e b. Porém demonstrou dificuldade em transpor o produto da soma pela diferença de dois termos do registro geométrico para o algébrico. Na questão c, cometeu um equívoco por reduzir os termos semelhantes -xy+xy a xy², quando na verdade, o correto é (x² - y²). Para responder à questão d, ele usa as respostas dos cálculos anteriores, quando a atividade dizia respeito à figura inteira, o que implica na expressão x² - y².

Quer saber mais?

CONTATOS
Andréia Brito

Marcio da Silva

BIBLIOGRAFIA
Álgebra: das Variáveis às Equações e Funções, Eliane Reame de Souza e Maria Ignez Diniz, Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem), 124 págs., tel. (11) 3091-6160, 8 reais

INTERNET 
Análise das dificuldades apresentadas pelos estudantes na aprendizagem de produtos notáveis.

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Publicado em NOVA ESCOLA Edição 238, Dezembro 2010. Título original: Os notáveis
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