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O jeito certo de ensinar a função afim

Conheça o trabalho de Rosilene Fagundes, ganhadora do Prêmio Victor Civita - Educador Nota 10, que desafia a turma a analisar as relações de dependência entre duas variáveis e ajuda os estudantes a compreender a expressão y = ax + b

Beatriz Vichessi, de Pinhais, PR

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=== PARTE 1 ====
Prêmio Victor Civita - Educador Nota 10

O conceito de função como é conhecido hoje surge em meados do século 18, elaborado pelo matemático alemão Johann Peter Dirichlet (1805-1859). No entanto, você já deve imaginar que não foi do dia para a noite que a ideia apareceu - muito menos as expressões clássicas que apresentam as possíveis relações entre duas grandezas (x e y, por exemplo). Foram anos e anos de estudos realizados por muita gente - como o suíço Leonhard Euler (1707-1783) - que levaram a esses resultados. Iniciar o ensino desse conteúdo apresentando definições e fórmulas para os estudantes, no entanto, não faz sentido. Como ocorre com outros temas, agir assim é como apresentar um filme de trás para frente.

O melhor caminho é propor à moçada pensar nas relações que existem entre variáveis, buscar a regularidade entre elas e daí estabelecer a generalização para a situação. Foi exatamente esse cuidado que garantiu o Prêmio Victor Civita - Educador Nota 10 a Rosilene Fagundes, professora da 8ª série do CE Deputado Arnaldo Faivro Busato, em Pinhais, região metropolitana de Curitiba. Ela encaminhou os jovens a pesquisar o tema. O objetivo principal era encontrar casos que representassem a função afim completa (y = ax + b) (leia o quadro na página seguinte). "É interessante a forma com que ela organizou o trabalho. A sequência didática foi concebida para ensinar um conteúdo clássico da matemática, diferentemente do que ocorre com frequência, quando se planejam várias atividades práticas para depois decidir quais conteúdos podem ser trabalhados", explica Ruy César Pietropaolo, selecionador do prêmio (leia a sequência didática).

Uma situação que ilustra bem esse conteúdo é a relação entre o número de horas e o preço pago para parar o carro em um estacionamento que cobra um valor fixo pela primeira hora e outro pelas adicionais. Por exemplo: se um estabelecimento cobra 5 reais pela hora inicial e 3 reais por cada hora adicional, o preço final (y), em função do número de horas estacionado (x) será definido pela expressão y = 5 + 3(x -1), ou seja, os 5 reais pela inicial mais 3 reais pelas horas adicionais, descontada a primeira. Simplificando, a expressão se resume a y = 3x + 2. Veja o gráfico correspondente, levando em conta um veículo estacionado por 1 ou 2 horas:

gráfico

 

=== PARTE 2 ====

Diagnóstico e aprofundamento gradual

Antes de começar o trabalho com o conteúdo, Rosilene fez uma sondagem para verificar se a garotada já dominava com autonomia atividades que envolviam equações de 1º grau, plano cartesiano e potenciação (conceitos importantes para lidar com a função afim).

Ao observar que alguns alunos ainda precisavam compreender melhor certos aspectos, organizou um momento de recuperação paralela. "Apresentei várias questões, como ‘qual é o dobro de um número negativo menos 3 quando esse número é x?' e todos puderam refletir que para cada valor de x existia somente um resultado, ou seja, que há uma relação de dependência entre duas grandezas e que a relação cresce linearmente, conforme x aumenta", explica Rosilene.

Em seguida, pediu que a moçada sugerisse outras possibilidades, como ‘o triplo de um número menos 7', e, levando isso em conta, construísse uma tabela que definisse a situação para cinco valores aleatórios e um gráfico com esses dados também. Assim, o grupo teve a oportunidade de começar a observar como a função afim se comporta em diferentes situações. Esse trabalho com o plano cartesiano, aliás, é unânime entre os especialistas como fundamental para garantir a aprendizagem.

A representação gráfica não deve ser encarada como consequência da expressão algébrica. Se isso ocorre, os estudantes podem acabar por desenvolver o que Carolyn Kieran, professora emérita da Universidade do Quebec, no Canadá, define como mecanismo processual, ou seja, a turma assimila que o conceito de função é relacionado com a atividade de computar o valor de x para uma fórmula determinada e só.

Para aprofundar o estudo, Rosilene apresentou uma situação-problema que reunia a função afim e o emprego de π (constante que representa a divisão entre uma circunferência e o diâmetro correspondente, cujo valor aproximado é 3,1415926). "Levei a turma para o pátio da escola e pedi que calculasse a metragem linear entre dois pontos marcados no chão, tendo uma bicicleta com rodas de raio conhecido, calculadora e giz", conta Rosilene. Recordando a fórmula C = 2πr (sendo C o comprimento da circunferência, e r, o raio), a moçada concluiu que, nesse caso, era possível definir a distância em função do número de voltas dadas pelas rodas.

Perceba que, aqui, Rosilene apresentou aos estudantes uma relação que de fato é uma função. Um ponto importante, já que em alguns momentos as ideias de relação e função se misturam. É preciso deixar claro para a garotada que cada uma tem suas particularidades. Pode-se afirmar que toda função é uma relação. Porém nem toda relação é uma função. No caso das funções, é possível determinar resultados a priori: o caráter de diagnóstico e de predição é uma característica que marca essa ideia.

Para finalizar o trabalho, Rosilene propôs que os alunos pesquisassem no comércio do município relações que configurassem funções afim. Essa atividade foi programada intencionalmente para ocorrer no término da sequência didática, pois a educadora queria que a garotada visitasse os estabelecimentos quando já soubesse o que perguntar e tivesse conhecimentos suficientes para até descartar o que não se encaixasse na proposta. Por exemplo, o preço cobrado por um taxista pode parecer determinado por uma função afim, mas não é. "O preço da viagem varia em função da quilometragem rodada (x) e tem como constante o preço inicial (b), a chamada bandeirada. Mas o cálculo é influenciado também pelo tempo parado do automóvel e esse último valor faz com que a relação não seja linear", diz Carla Milhossi, professora de Matemática na Escola Santi, em São Paulo.

Durante o levantamento de dados, os jovens entraram em contato com representações decimais, como 1,56 e 98,46. É pertinente também fazer a moçada lidar com atividades que envolvam números negativos para aprender a trabalhar com todos os quadrantes do plano cartesiano e conhecer gráficos de aspectos variados. Como se comporta a reta quando y é negativo e x é positivo? E vice-versa? Como se comporta quando ambas as variáveis são negativas?

A exploração das nomenclaturas domínio, contradomínio e imagem e do diagrama de flechas não se faz tão necessária nessa etapa inicial de estudo das funções. Você pode nomeá-las e apresentá-las para a classe, mas não precisa dedicar muito tempo a isso. São termos a serem trabalhados e usados com mais ênfase no Ensino Médio, de acordo com Carla. O importante nesse momento é que os estudantes compreendam as características da função afim, elaborem e analisem graficamente o conceito e percebam que a teoria também pode ser usada para muito além de cálculos puramente matemáticos.

=== PARTE 3 ====

A garotada estuda como se dá a relação entre duas grandezas na função afim
A sequência didática envolveu conceitos já conhecidos dos alunos, como equação de 1º grau, e encaminhou os alunos a construir gráficos no computador

Foto: Marcelo Almeida

A professora nota 10: Rosilene Fagundes
Professora do CE Deputado Arnaldo Faivro Busato, em Pinhais, PR.


Graduada em Desenho Industrial e em Matemática - Licenciatura Plena pela Universidade do Oeste Paulista. Leciona há mais de 15 anos na mesma escola, da qual foi aluna.

 

Foto: Marcelo Almeida

1. Investigação
No pátio da escola, os jovens exploraram como se relacionam a distância entre dois pontos e o raio de uma bicicleta

 

Foto: Marcelo Almeida

2. Coleta de dados
Para a garotada conhecer como e onde a função afim aparece no cotidiano, foi organizada uma pesquisa no comércio local

 

Foto: Marcelo Almeida

3. Construção de gráficos
Ao transpor para o computador os dados coletados, a turma analisou como as funções se comportam graficamente

 

Dica do especialista

"É importante também explorar três casos particulares que são consequências de alterações da expressão completa, y = ax + b (veja os gráficos abaixo), analisando como a ausência de um termo influencia as relações entre as variáveis." 

Janice Pereira Lopes, professora da Universidade Federal de Goiás (UFG)

gráfico
Identidade y = x. O gráfico divide o 1º e o 3º quadrante em partes iguais.
gráfico
Constante y = b. O gráfico é uma reta paralela ao eixo x.
gráfico
Linear y = ax. O gráfico é uma reta que passa pela origem.

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Publicado em NOVA ESCOLAEdição 242, Maio 2011,
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