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Sequência Didática

Introdução à álgebra

Introdução
A aprendizagem da linguagem algébrica costuma ser bastante difícil e traumática para os alunos das séries iniciais do ensino fundamental II, acostumados, até então, apenas com a aritmética. Este momento inicial de contato com a álgebra é uma ruptura com a matemática "concreta" da aritmética, para uma entrada na matemática "abstrata" da álgebra. Os alunos muitas vezes ainda não estão preparados para essa nova linguagem e, os professores, por vezes, não se dão conta do delicado momento de transição e do amadurecimento que compreender a álgebra exige.

A linguagem matemática e a linguagem algébrica, em especial, apresentada aos alunos muitas vezes de forma descontextualizada, pronta, cheia de incógnitas a serem decifradas, carece de sentido, e os alunos se ressentem dessa aparente falta de significado.

Objetivos
Ao final destas aulas espera-se que os alunos sejam capazes de atribuir significado e expressar algebricamente relações entre variáveis.

Conteúdos
- números naturais e racionais
- operações
- linguagem algébrica

Ano
6º ou 7º anos

Tempo estimado
6 ou 7 aulas

Material necessário
Cópias dos problemas a todos os alunos.

Desenvolvimento das atividades
1ª aula Propor aos alunos um jogo (em duplas), no qual devem descobrir a regra de formação de algumas seqüências numéricas.

O primeiro jogador pensa em uma ou mais operações a serem feitas com os números ditos pelo outro jogador, devolvendo-lhe os resultados para que ele descubra as operações feitas. O segundo jogador deve dizer um número de cada vez, analisando os resultados dados pelo colega, até descobrir qual ou quais operações estão sendo feitas com os números ditos.

Quando o segundo jogador descobrir as operações, ambos devem tentar escrever, individualmente, cada um da sua maneira, utilizando-se de linguagem materna ou linguagem matemática, qual ou quais operações devem ser feitas com qualquer número, de forma geral, de modo a servir para qualquer número dito, segundo a regra criada nessa rodada do jogo. Para facilitar a observação das operações feitas, pode-se sugerir a construção de uma tabela conforme a ilustrada abaixo, para o registro dos números ditos por ambos:

 

Ana

2

5

10

22

Jorge

7

16

31

67

 
Nesse exemplo, Jorge triplica os números ditos por Ana e em seguida soma 1, sendo que essas operações podem ser registradas como "três vezes o número mais um" ou "3n + 1".

Depois de registrarem a regra dessa rodada, os dois alunos da dupla devem confrontar seus registros e conversar sobre qual deles é mais claro, mais econômico ou mais adequado do ponto de vista matemático.

2ª aula Os alunos receberão várias tabelas como a acima já preenchidas (podem ser usadas as tabelas criadas por diferentes duplas de alunos na atividade anterior ou outras, dependendo da adequação ao seu grupo de alunos) e deverão, inicialmente individualmente, registrar a regra (ou a seqüência de operações) que está por trás de cada rodada do jogo.

Depois de alguns minutos de trabalho individual, o professor deverá propor que os alunos comparem seus registros com um colega, formando duplas, e escolhendo o registro que consideram melhor para representar cada rodada expressada numa tabela.

Em seguida, sugerir que sentem-se em duplas de duplas e, novamente, escolham qual forma de registro consideram mais sintética e matematicamente correta para expressar os resultados de cada tabela.

Finalmente o professor abre a discussão coletivamente, comparando os registros escolhidos como os melhores pelos quartetos e problematizando sobre qual lhes parece mais adequado matematicamente, retomando os saberes já institucionalizados no grupo.

Para explorar a escrita algébrica convencional, é preciso socializar as escrituras, refletir sobre elas e estabelecer acordos e convenções. O professor deve recuperar algumas noções e conceitos já trabalhados ou discutidos nos grupos, explicitando idéias e sistematizando procedimentos e registros.

A socialização permite que os alunos que descobrem algo "pessoal" revejam suas posições iniciais. O confronto com os outros faz, também, com que algumas coisas não possam ser validadas e sejam rechaçadas. As interações supõem uma negociação e uma série de acordos, enriquecendo, assim, a reflexão individual.

Quando um aluno produz algo pessoal ou não entende uma escritura, é necessária a intervenção do professor, pois dificilmente os alunos conseguem chegar a um acordo sozinhos. Alguns acordos devem ser estabelecidos pelo professor, e também é preciso validar certas escrituras e seu poder de comunicação.

Algumas interações com o SND só podem acontecer dentro da escola, assim como com a escrita algébrica. A linguagem algébrica, por ter uma estrutura convencional, deve ser ensinada, uma vez que não é "natural" - as escritas algébricas levaram muito tempo para se desenvolver e foram sofrendo diversas modificações e aprimoramentos ao longo do tempo.

Seguem alguns exemplos de tabelas a serem adaptadas de acordo com os conhecimentos de seus alunos:

- Descubra a regra de transformação dos números em cada caso, escreva como ela "funciona" e complete as tabelas a seguir:

 

Número dito por Ana

12

10

1

0,5

-2

30

4,2

n

Número dito por Jorge

18

15

1,5

0,75

    

Número dito por Ana

100

36

18

5

10

0

9,8

n

Número dito por Jorge

10

3,6

1,8

0,5

    

Número dito por Ana

13

28

200

15

0

1

1,5

n

Número dito por Jorge

6,5

14

100

     

Número dito por Ana

-15

-3

0

22

0,1

-5

3/4

n

Número dito por Jorge

-30

-6

0

     

 


3ª aula Propor uma ou mais seqüências de figuras como a abaixo, acompanhada de perguntas voltadas para a generalização das relações entre as variáveis. 

  
  

 

   
   
   

 

    
    
    
    

 

- Quantos quadradinhos escuros terá a próxima figura dessa seqüência?

- Quantos quadradinhos escuros terá a próxima figura dessa seqüência?

- Quantos quadradinhos brancos terá a décima figura dessa seqüência?

E depois, para generalização:

- Como você faria para descobrir a quantidade de quadradinhos escuros de qualquer figura dessa seqüência?

- Como você faria para descobrir a quantidade de quadradinhos brancos de qualquer figura dessa seqüência?

- Uma variação é pedir que imaginem que os cubinhos com pelo menos uma face exposta que compõem cubos maiores, formados com qualquer número de cubinhos, foram pintados. Algumas das perguntas que podem ser feitas são:

a) Quantos cubinhos pintados terá o cubo formado por 8 cubinhos? E por 27?

b) Quantos cubinhos sem pintar terá a próxima figura desta seqüência?

E depois, para generalização:

c) Como você faria para descobrir a quantidade de cubinhos pintados de qualquer figura dessa seqüência?

d) Como você faria para descobrir a quantidade de cubinhos sem pintar de qualquer figura dessa seqüência?

Possivelmente nem todos os alunos conseguirão dar respostas imediatas, talvez por poucas oportunidades de, percebendo as regularidades, fazer generalizações. Este é, no entanto, um dos mais importantes aspectos para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

4ª aula Propor problemas de distintas naturezas, sempre adequando aos seus objetivos de ensino e aprendizagem, numa aula que envolva momentos de reflexão individual, em duplas e grupos maiores, momentos de ação (a resolução de problemas), de formulação (a reflexão com a dupla e com grupos maiores), de validação (a proposição de afirmações perante o grupo ou grupo oponente), e de sistematização (a institucionalização dos saberes do grupo).

Tomando como ponto de partida as soluções dos alunos, destacar que existem várias maneiras de resolver um mesmo problema e que uma ferramenta importante são as equações. Propor atividades que envolvam a resolução de equações, preferencialmente associadas à situações-problema.

Antes da institucionalização, as interações entre os alunos devem levar um tempo, para que eles possam explorar as diferentes idéias, analisar, testar etc. Deve-se ter um momento para que todos possam se apropriar do que os outros disseram, para que experimentem outros procedimentos e vejam quais são válidos ou não etc.

Por exemplo:

- Descubra a quantidade de diagonais que tem um polígono, em relação ao número de lados que apresenta.

Quantidade de lados de um polígono (n)

3

4

5

6

7

n

Quantidade de diagonais do polígono (x)

      

 - Com 100 rodas posso fazer quantas bicicletas e triciclos?

- Tenho 100 reais para comprar feijão e farinha. O quilo de feijão custa 3 e a farinha 2 reais. Quanto de cada posso comprar?

Mudar o contexto de um problema, como nos exemplos acima, de unidades discretas para contínuas, muitas vezes oferece um grau de desafio maior para os alunos. O contexto do problema imbui de sentido a notação algébrica.

Uma fórmula como "3x + 2y = 100" já dá informação sobre as duas variáveis em ambos os problemas acima, mas os alunos, imediatamente, não chegam a essa fórmula. Alguns alunos, por exemplo, necessitam escrever duas fórmulas, uma para cada variável.

Ao tentar resolver um problema, os alunos tentam distintas coisas e podemos validar certos conhecimentos matemáticos e, também, apontar se algo está bem ou mal. Frente a um problema, alguns alunos podem subtrair ou agregar dados que não estão colocados, outros tentam por estimativas, outros tentam algo mais sistemático etc. Nem todos os alunos vêem as variáveis que estão colocadas nos problemas.

Escrever uma fórmula é uma maneira de sintetizar, numa só solução, várias possibilidades de resolução; a fórmula sintetiza as relações variáveis de toda uma categoria de problemas. Nesse sentido, a escrita da fórmula supõe um aprofundamento das relações dos problemas. É bom lembrar, porém, que as fórmulas não dão conta de resolver todos os problemas.

Pode ser, também, que uma fórmula seja compreensível para um grupo de alunos, mas talvez não seja acessível a todos os alunos; e talvez não seja interessante, ainda, torná-la pública para todos. Na classe também devem haver espaços privados, nos quais se respeitem os espaços de cada aluno para, depois, num momento adequado, tornar algo público.

5ª aula Propor situações que envolvam equilíbrio, por exemplo, com atividades com balanças de dois pratos como às atividades a seguir:

- As figuras abaixo mostram balanças em equilíbrio, o que significa que os pesos colocados nos pratos esquerdo e direito se equivalem. Responda as perguntas a seguir considerando que pesos indicados pela mesma letra são pesos iguais.




Agora responda:

o valor do "peso D "?
o valor do "peso C "?
c) o valor do "peso B "?

o valor do "peso A "?
o valor do "peso X "?


- As balanças ilustradas abaixo representam situações de equilíbrio. Descubra os números que tornam essa igualdade verdadeira.



a. Se tirarmos 15 do prato da direita, ela mantém o equilíbrio? Desenhe uma balança nessa situação e justifique sua resposta.

b. O que você precisaria fazer no prato da esquerda para que a balança voltasse a ficar em equilíbrio? Desenhe a balança nessa nova situação.

c. Qual o valor de X?

d. Que operações você fez para chegar ao resultado?

Essas atividades fazem uma analogia entre o funcionamento da balança de dois pratos e os processos de resolução de equações. Muitos alunos verbalizam que "o que se tira (ou põe) num prato, tem que fazer igual no outro".

Avaliação
Propor uma atividade individual de tradução em linguagem algébrica e resolução de alguns problemas comuns em livros didáticos, adequados à realidade da sua classe.

- Traduzir em linguagem algébrica e resolver os problemas a seguir.

a. A soma de dois números é 16 e um é o triplo do outro. Determine-os.

b. O dobro de um número multiplicado por 3 é igual a 36. Qual é esse número?

c. Júlia e João colecionam adesivos. Júlia tem 138 adesivos a menos que João. Quantos adesivos tem João, se Júlia tem 289?

d. A soma das idades de 4 irmãos é 84 anos. Qual a idade de cada um, sabendo que a cada dois anos nascia um irmão?

e. Um número natural excede em 12 a um múltiplo de 5. Qual é o resto de sua divisão por 3?

Observar se os alunos tentam resolver os problemas aritmeticamente ou algebricamente e o quanto aproveitam os saberes adquiridos durante as propostas anteriores.

 

 

 

 

Consultoria: Daniela Padovan
Autora de livros didáticos de Ensino Fundamental

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