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Sequência Didática

Geometria da transformação: homotetia de figuras planas

Objetivos:
Refletir sobre o conceito de homotetias: ampliação e redução de figuras bidimensionais.
Introduzir a ideia de semelhança de figuras planas.

Anos: 7º e 8º.

Tempo estimado: Cinco aulas.

 

Material necessário: papel sulfite, papel quadriculado, régua, calculadora e computador com algum software de editoração de imagens.

 

Flexibilização
Para que alunos com deficiência intelectual possam acompanhar essas atividades, é preciso proporcionar a eles situações que relacionem o conceito de homotetia a ideias familiares. Comece a sequência falando sobre os personagens da literatura, como os gigantes. Peça que o aluno imagine uma máquina capaz de realizar o aumento ou a diminuição de uma imagem. A seguir, recorte figuras e as amplie com um retroprojetor para trabalhar com a noção de que a ampliação ou diminuição de uma imagem muda proporcionalmente. Proponha também uma atividade de desenho de uma figura plana em uma malha quadriculada. Ajude o aluno a repetir esse desenho em tamanhos e cores diferentes. O registro das atividades é importante para organização do pensamento do aluno com deficiência intelectual. Com ajuda do Atendimento Educacional Especializado, amplie o tempo de realização das atividades. Para avaliá-lo, verifique se o conceito de homotetia e semelhança de figuras planas foram compreendidos.

Desenvolvimento:
1ª etapa
Apresente à turma alguns polígonos desenhados sobre uma malha quadriculada, de tal forma que os lados coincidam com as linhas e colunas do papel. Peça que os alunos construam um novo polígono duplicando o tamanho dos lados. Em seguida, marque os pontos correspondentes nas duas figuras. O objetivo é que os alunos verifiquem que os segmentos se interceptam no mesmo ponto (P) e que PA’=2PA, PB’=2PB, PC’=2PC e PD’=2PD. Esse fator (2) determinará a razão de semelhança. No exemplo da figura a seguir, a razão é 1:2, ou seja, as medidas dos comprimentos dos lados do polígono A’B’C’D’ são o dobro das medidas dos comprimentos dos lados do polígono ABCD.

 

ilustração da matéria de matemática sobre geometria das transformações

 

 

 

 

Ofereça outras atividades similares, utilizando o papel quadriculado e com outros polígonos.

2ª etapa
Continue apresentando alguns polígonos aos alunos, mas dessa vez em folha de sulfite, não em papel quadriculado. Peça que os alunos encontrem o ponto P, intersecção dos segmentos formados pelo ponto e seu correspondente na figura transformada. Explore situações nas quais o ponto P seja interno às duas figuras, bem como outras nas quais o ponto P pertença a uma das figuras. Em todos eles, discuta qual a razão de semelhança.

3º etapa
Utilize algumas imagens gravadas no computador para discutir a questão da ampliação e redução. A figura a seguir tem 3 cm por 4 cm.

ilustração Stefan

 

 

 

 

 

 

 Elabore uma série de questões que explorem a questão da razão de semelhança. Alguns exemplos: qual a nova altura da imagem, caso queira ampliar a largura para 9 cm? (resposta: 12 cm, pois o fator de ampliação seria igual a 3). Qual a área da figura original (3 cm x 4 cm)? (resposta: 12 cm²). Qual seria a nova área caso dobrasse os comprimentos dos lados? (resposta: 48 cm², ou seja, quando os comprimentos dobram, as áreas quadruplicam).
A imagem a seguir é uma ampliação da original? As medidas são: 4 cm de largura e 6 cm de altura.

ilustração Stefan

 

 

 

 

 

 

 

 

Discuta a distorção da imagem acima em relação à original. Elas não são semelhantes. Marque alguns pontos e encontro os correspondentes na figura original. Verifique que os segmentos formados pelos pontos correspondentes nas duas figuras não se interceptam no mesmo ponto.

4ª etapa
Desenvolva com a turma técnicas de ampliação ou redução de uma figura. Apresente algumas figuras e um ponto P. Peça que os alunos ampliem e reduzam a figura desenhada, fornecendo a razão de semelhança que se pretende obter. Deixe os alunos usarem uma calculadora para determinar os comprimentos. Caso sinta que a turma está com muita facilidade, discuta a questão do fator negativo. O que seria uma razão negativa? Isso provocaria uma rotação de 180 graus na figura, como ilustrado no exemplo a seguir. Note que o ponto P continua sendo a intersecção dos segmentos formados pelos pontos e seus correspondentes.

ilustração do plano de aula de matemática sobre geometria das transformações

 

 5ª etapa
O objetivo é compor movimentos de translação, reflexões, rotações e homotetias. Neste momento, é possível que os estudantes confundam os movimentos e as propriedades. Retome as principais características de cada transformação geométrica e explore as composições possíveis, na forma de desafios a serem construídos pelos alunos. Esta etapa pode levar muito mais que uma aula. Cabe ao professor verificar as principais inconsistências no processo de construção desses conceitos nos alunos e sistematizar os conceitos de congruência e semelhança.

Avaliação
Forneça exercícios que explorem as seguintes situações: (i) dado um ponto P, uma razão de semelhança e uma figura, desenhe uma nova figura que seja uma ampliação ou redução da original; (ii) dadas duas figuras, solicite que os alunos confiram se as mesmas são ou não semelhantes. Em caso afirmativo, determine a razão de semelhança. Em caso negativo, peça que justifiquem o porquê da não semelhança. Verifique se os alunos conseguem fazer a ampliação e redução e se eles identificam essa razão de semelhança. É importante que eles consigam justificar o porquê de duas figuras serem ou não semelhantes.

Consultor Marcio Antonio da Silva
Da Universidade Federal do Mato Grosso do Sul (UFMS)

Flexibilização Valéria Garcia Dias
Professora da Nova Escola Judaica, em São Paulo e pós-graduada em Educação Matemática pela PUC-SP

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