Generalização de áreas

Objetivos
Buscar padrões e regularidades entre áreas de polígonos aparentemente distintas, articulando registros geométricos e algébricos. 

Mais sobre Matemática

Expectativa de aprendizagem
• Matemática - 6º a 9º ano
  Sequência didática
• Resolução de problemas usando regra de três composta

ESPECIAL

• Tudo sobre Geometria

Conteúdo
Quadriláteros notáveis, quadrilátero qualquer, áreas de algumas regiões poligonais

Ano
8o ano

Tempo estimado 
Duas aulas

Material necessário
Papel quadriculado, régua, lápis, borracha, lápis de cor.

Desenvolvimento

AULA 1
Proponha à turma o seguinte problema: "Qual é a razão que existe entre a área de um quadrado e a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios desse quadrado?". Divida a turma para que trabalhem em duplas ou trios, distribua as folhas de papel quadriculado e peça que tentem demonstrar, no papel, as respostas para a questão proposta. Se for preciso, retome as definições de quadrilátero, paralelogramo, retângulo, losango e quadrado e figuras equivalentes.

Explique que os alunos podem desenhar quadrados de quaisquer tamanhos e as justificativas podem se basear no teorema de Pitágoras ou simplesmente na divisão do quadrado original em figuras equivalentes, como mostra a Figura 1, de forma que possam concluir que a área do quadrado original é o dobro da área do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrado original. Caso os alunos calculem a área do quadrilátero interno como o sendo o produto dos lados, devem antes justificar o porquê desse procedimento. 

Figura 1: quadrado ABCD decomposto em triângulos.

Em seguida, proponha as seguintes perguntas:

1) qual é o nome do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de um retângulo?
2) Qual é a razão entre a área do retângulo e a área desse quadrilátero?

Peça que os alunos redijam suas justificativas. Elas podem ser apresentadas aos colegas e discutidas. A justificativa para a primeira pergunta pode se basear no teorema de Pitágoras ou no critério L.A.L. de congruência de triângulos. A figura 2 mostra uma possível divisão do retângulo em figuras equivalentes, que pode ser utilizada pelos alunos para justificar o fato de a área do retângulo ABCD ser o dobro da área do losango EFGH.

Figura 2: Retângulo ABCD e losângulo EFGH.

AULA 2
Proponha que os alunos investiguem qual é o quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de um losango e, posteriormente, determinem qual a razão entre as áreas do losango e do quadrilátero. A resposta para a razão entre as áreas é, novamente, 2 para 1. A turma deve demonstrar que, embora os triângulos da decomposição não sejam congruentes, são equivalentes.

Estimule e oriente os alunos a encontrarem argumentos para o fato de que o quadrilátero EFGH, mostrado na figura 3, ser retângulo. Como isto pode ser justificado de muitas formas diferentes, a consequência é a riqueza de argumentos que surgirão na fase das exposições. 

Figura 3: Losango ABCD e retângulo EFGH.

Peça, então, que os alunos investiguem a mesma situação, mas agora no caso em que o quadrilátero original seja um paralelogramo. Utilize como base a figura 4, em que o quadrilátero ABCD é paralelogramo e o quadrilátero EFGH também e a área do primeiro é o dobro da área do segundo. Trabalhe as redações dos alunos, cuidando para que, sem prejuízo das ideias, possam ser claros e rigorosos em suas apresentações.

Figura 4: Paralelogramos ABCD e EFGH divididos em triângulos equivalentes e congruentes.


Aparentemente distintos os problemas apresentados nas etapas precedentes podem ser generalizados. Apresente, então, o seguinte problema à moçada:

- Determine a razão entre as áreas de um quadrilátero qualquer, e o quadrilátero que se obtém unindo os pontos médios dos lados desse quadrilátero.

Mostre à turma que o resultado obtido - de que a área do primeiro quadrilátero é o dobro da área do segundo - é válido tanto para quadriláteros convexos quanto para não convexos. A figura 5 mostra um quadrilátero qualquer ABCD, o quadrilátero obtido ao se unirem os pontos médios de seus lados.

Figura 5: A área do quadrilátero EFGH é metade da área do quadrilátero ABCD

Em seguida, apresente aos alunos o teorema da base média:

E explique que ele representa a generalização dos resultados obtidos anteriormente para quadriláteros particulares (quadrados, retângulos, losangos e paralelogramos).

Para finalizar a atividade, apresente aos alunos alguns quadriláteros, dê a medida de seus lados e peça que calculem suas áreas e as áreas das figuras formadas pela junção de seus pontos médios, utilizando como base o teorema estudado.

Consultoria Carlos de Oliveira
licenciado em Matemática pelo IME-USP, é subcoordenador de matemática do Colégio Bandeirantes, Especialista em Educação Matemática, co-autor de livros didáticos para o Ensino Fundamental.