Estudo da relação a = b x c

Objetivos
- Estabelecer relações entre os termos da multiplicação e refletir sobre a variação do produto baseado na variação dos seus fatores.
- Explorar as propriedades da multiplicação de modo a antecipar e controlar resultados.

Conteúdos
- Álgebra.
- Propriedades da multiplicação.

Anos
6º e 7º anos. 


Tempo estimado
Quatro aulas.

Material necessário
Lápis, borracha, papel e cópias das atividades.

Desenvolvimento
1ª etapa
Para que a turma ponha em jogo os conhecimentos sobre multiplicação, inicie a sequência didática propondo o seguinte problema: "Um pátio retangular tem 26 fileiras com 30 lajotas cada uma. É correto dizer que, se duplicarmos a quantidade de fileiras e também a quantidade de lajotas em cada fileira, duplicará a quantidade total de lajotas desse pátio? Explique como você pensou". Peça que os alunos registrem por escrito suas respostas e, em seguida, que se reúnam em grupos para avaliar as resoluções propostas, eleger a mais adequada e compartilhá-la com a classe. Note que as soluções corretas devem seguir o seguinte raciocínio (ou semelhante) : 2 x 26 x 2 x 30 = 3.120. A resposta, portanto, é não. O total de lajotas quadruplica em relação à quantidade inicial (26 x 30 = 780).

2ª etapa
Peça à garotada para seguir investigando a mesma questão. Divida a classe em duplas e aprofunde o desafio com um novo problema: "Agora, analise três maneiras diferentes com que alguns alunos resolveram a atividade anterior. Verifique se elas estão corretas e explique o motivo".

- Aluno 1: 
2 x 26 x 30 = 1.560. 
Resposta: a quantidade total de lajotas duplica.

- Aluno 2:

Resposta: o total de lajotas quadruplica.

- Aluno 3: 
26 x 2 x 30 x 2 = 26 x 30 x 2 x 2 = 26 x 30 x 4. 
Resposta: a quantidade total de lajotas quadruplicará. Socialize as análises e elabore uma síntese coletiva com as semelhanças e diferenças observadas pelos alunos. Leve-os a notar onde está o equívoco do aluno 1 e que é possível registrar a solução 2 de outra maneira (a opção 3).

3ª etapa
Apresente outros problemas semelhantes para que a turma entenda que a lógica por trás de todos é a mesma - o resultado de uma multiplicação varia proporcionalmente às mudanças em seus fatores. Algumas sugestões: 

- "Um pátio retangular tem 26 fileiras com 30 lajotas cada uma. Se triplicarmos a quantidade de fileiras e de lajotas em cada uma, o que ocorrerá com a quantidade total de lajotas?"

- "Um pátio retangular tem 136 fileiras com 72 lajotas cada uma. Se duplicarmos a quantidade de fileiras e triplicarmos a de lajotas, o que ocorrerá com a quantidade total de lajotas?"

4ª etapa
Hora de sistematizar o conteúdo, abordando as propriedades da multiplicação envolvidas nos problemas propostos. Peça que a classe produza um cartaz com a explicação das propriedades e alguns exemplos, como 26 x 3 x 30 x 3 = 26 x 30 x 3 x 3 (propriedade comutativa) = 26 x 30 x 9 (propriedade associativa).

5ª etapa
Nesse momento, a álgebra começa a aparecer, com a presença de problemas com incógnitas e variáveis. Recomendando aos estudantes explorar as propriedades da multiplicação, apresente atividades como estas:

- "Sabendo que a x b = 7.430 (sendo 'a' e 'b' números naturais), determine o produto das seguintes multiplicações, fazendo apenas um cálculo com a calculadora:
a x 3 x b x 5
2 x a x 4 x b
a x 6 x b x 4".

- "Sabendo que o produto de dois números naturais, 'a' e 'b', é 1.345.678, determine qual será o resultado do dobro de 'a' multiplicado pelo triplo de 'b'."

Avaliação
Por meio de exercícios semelhantes aos da etapa anterior, observe se os alunos conseguem compreender que, dependendo da proposta, é possível resolver problemas com incógnitas e variáveis sem necessariamente ter de calcular seus valores. Avalie ainda se reconhecem que, ao variar um dos fatores de uma multiplicação, o produto varia proporcionalmente, independentemente dos fatores envolvidos. No caso dos estudantes com maior dificuldade, retome a investigação das propriedades comutativa e associativa reiniciando o trabalho com problemas aritméticos.

Consultoria: Gislaine Rasi
Professora de Matemática da Escola da Vila, em São Paulo, e documento Actualización Curricular para 7º Grado, da secretaria de Educação da Cidade de Buenos Aires, Argentina.