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A base das operações matemáticas

Ensinar as características do sistema decimal é chave para fazer os alunos avançarem em Matemática. Para isso, promova o uso dos números em diferentes contextos e o debate de hipóteses

Faoze ChibliPaola Gentile e Paulo Araújo

MIL E UM CUIDADOS
Investigar o que a turma sabe sobre o sistema de numeração leva às intervenções corretas. Foto: Gustavo Lourenção

MIL E UM CUIDADOS Investigar o que a
turma sabe sobre o sistema de
numeração leva às intervenções
corretas. Foto: Gustavo Lourenção

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Primeiro, escrever de 0 até 10. Depois, até 20. Quando a criança dominar esses números, avançar até o 50 e, posteriormente, até o 100, certo? Até algum tempo atrás, poderia ser, mas a concepção de que para progredir no aprendizado dos números é preciso ensiná-los um a um, seguindo a série numérica e logo classificando em unidades, dezenas e centenas, está caindo em desuso. Essa maneira de ensinar não leva em consideração um fato mais do que evidente: os alunos, muito antes de começarem a frequentar uma sala de aula, têm contato diário com o sistema numérico. Ao verem algarismos em calendários, telefones dos colegas, preços de produtos, numeração das casas e o painel do elevador, informalmente eles constroem representações sobre os números e tentam compreendê-los, criando teorias próprias.

Essa lógica inicial - construída com base em simples observação e na interação com os números em situações do cotidiano - aparece principalmente quando a turma é convidada a escrever esses números e o faz de maneira não convencional - o que a princípio pode parecer errado.

As educadoras argentinas Delia Lerner e Patricia Sadovsky, responsáveis por estudos nessa área, constataram essas hipóteses em pesquisas que hoje dão subsídios à maneira de ensinar as características do nosso sistema numérico - posicional e de base 10. Esse conhecimento é fundamental para o aprendizado de Matemática no decorrer da vida escolar, principalmente para a realização de operações (leia nos quadros abaixo).  

 

A base 10 e as operações matemáticas

A maneira de escrever os números é determinada por um conjunto de operações subjacentes (aditivas e multiplicativas), organizado de forma posicional e decimal. Assim as educadoras argentinas Suzana Wolman e Maria Emilia Quaranta, especialistas no assunto, explicam como se dão essas relações:

"Uma escrita numérica ABC significa



Por sua vez, os cálculos - mentais ou feitos com algoritmos convencionais - estão condicionados a regras que dependem da organização dos números. Quando uma criança, para somar 27 + 20, faz 10 + 10 + 7 + 10 + 10, soma os 10 e em seguida o 7, ela está considerando a composição de cadaum dos números envolvidos, quais das partes em que o número foi decomposto são da mesma ordem para compô-las entre si (10 + 10 + 10 + 10 = 40) e, finalmente, as de diferente ordem (40 + 7). Essas transformações sobre os números utilizam as operações aditivas subjacentes à numeração escrita.

Também as contas convencionais apelam às regras do sistema de numeração: a formação de colunas ao somar ou subtrair facilita operar entre si os algarismos que ocupam a mesma posição na escrita numérica. Assim como os reagrupamentos ("vai um") permitem somar entre si os algarismos de mesma ordem ou as decomposições ("pedir emprestado") apelam a escritas equivalentes que facilitam a subtração a realizar (ao subtrair 32 - 17, a conta convencional termina subtraindo (20 + 12) - (10 + 7)".

Os estudos, além de colocar luz sobre o raciocínio do estudante, foram essenciais ao apontar um caminho para o diálogo com os pequenos. "Sabendo como o aluno pensa, temos condições de fazer um planejamento mais elaborado de boas atividades", afirma Suzete Borelli, formadora do Círculo de Leitura e Escrita e Matemática, da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo. As intervenções do professor devem, portanto, contribuir para que a criança avance cada vez mais no sentido de se apropriar da notação convencional e para compreender como se organiza o sistema de numeração decimal. Se o conteúdo for bem trabalhado, as crianças poderão surpreender ao reconhecer e escrever cifras que passem do bilhão ou trilhão logo nas primeiras séries do Ensino Fundamental.

Investigar quanto um aluno já sabe sobre o sistema de numeração é importante para fazer as intervenções corretas. "Assim, conseguimos compreender o raciocínio daqueles vistos como problemas", afirma Daniela Padovan, professora do Colégio Friburgo e da EE Professora Marina Cintra, ambos em São Paulo.

Delia Lerner diz que levantar questões contextualizadas, que proporcionem a vivência de conflitos com base nos quais os alunos possam revisar e ajustar suas concepções, torna-se fundamental para fazer a Matemática mais compreensível. "Por ser uma ciência abstrata, as crianças podem ter dificuldade para compreender alguns conceitos e procedimentos usualmente ensinados", pondera Daniela. "Usar sequências numéricas que pertencem a seu contexto social só facilita a aprendizagem."

O debate e os questionamentos fazem os alunos aprenderem. Apesar de as ideias iniciais sobre os números serem importantes para inferir alguns conceitos do sistema de numeração, o aluno só vai fazer a notação convencional com intervenções bem conduzidas por você e enfrentando questões que tenham a finalidade de desestabilizar a escrita informal referendada pelo grupo.

É fundamental garantir debates para que o processo de aprendizagem traga bons resultados. Nessas situações, a criança tem a possibilidade de justificar os registros e confrontar as anotações com as dos colegas. "É possível estabelecer regras sobre um colchão de relações que as justificam, o que permite estendê-las a novas situações ou vinculá-las com outras regras. Isso é bem diferente de aprender porque ‘alguém me disse que é assim’", afirma Suzana Wolman, coordenadora da área de Educação Primária da Secretaria de Educação de Buenos Aires.

Existem diversas estratégias que podem ser utilizadas para ajudar os alunos a adquirir a compreensão do sistema de numeração. Uma delas é usar a facilidade que eles têm em escrever os números redondos, ou os "nós", como chamam as pesquisadoras - ou seja, os múltiplos de dez -, antes de elaborar a escrita dos que se posicionam nos intervalos. Ao começar a produzir números cuja escrita convencional desconhecem, as crianças se apoiam na numeração falada e nas escritas que já conhecem. É importante notar que isso é o contrário do que acontece com a numeração falada. Dessa forma, ao pedir que escrevam 134, as crianças podem registrar assim:



O mesmo ocorre com o 6.345:



Uma das maneiras de intervir é valer-se do entendimento que os pequenos têm de que, quanto mais algarismos, maior o número. Ao perceber que ambas as anotações de 134 têm mais algarismos do que o 100 e o 200, eles percebem que algo está efetivamente errado com a escrita que está sendo feita.

Com a intervenção do professor, a criança aprende as várias regularidades do sistema numérico, como: toda vez que um número termina com 9, o anterior termina com 8, e o posterior, com 0:

8, 9, 10
18, 19, 20
138, 139, 140
1.228, 1.229, 1.230


A turma vai perceber ainda que há sempre dez números começando com um mesmo algarismo repetido. A observação dessa regularidade deve ser guiada pelo professor e é base para a compreensão do aspecto multiplicativo do nosso sistema de numeração.

A familiarização das crianças com o sistema de numeração também deve ser favorecida por meio dos diferentes portadores numéricos que existem no cotidiano, como calendários, fitas métricas, tabelas de álbuns de figurinhas e outros materiais que façam parte do mundo cotidiano dos estudantes e permitam utilizar os números em diversos contextos. O que também funciona muito bem e pode ser seguido pelos docentes é fixar um quadro numérico na sala de aula, objeto que pode fazer parte do contexto escolar da criança. As atividades devem ser planejadas com o intuito de propor situações-problema envolvendo leitura e escrita numérica.

Algumas atividades feitas com a turma podem prever a discussão no fim. Nesse tipo de tarefa, além de explicitar as ideias, a criança precisa de uma chance para colocá-las em prática junto ao grupo. Esse é um dos momentos de maior presença do professor: cabe a você relacionar as hipóteses do aluno de maneira a explicitar conflitos. Ou seja, é essencial problematizar a situação e ajudar a analisar e validar as teses mais eficientes.

Muitas maneiras de organizar os números

O sistema usado atualmente por nós é posicional: o valor de cada símbolo depende especificamente do lugar que ele ocupa na escrita. Isso o torna mais econômico, já que com poucas notações é possível escrever qualquer número de interesse. Os sistemas aditivos e subtrativos são menos econômicos. Veja o romano, em que os algarismos são representados por letras:



1.223, por exemplo, fica assim:



Qualquer semelhança com a escrita da criança - 1000200203 - talvez não seja mera coincidência, pois é uma maneira de organização numérica lógica!

O sistema egípcio, mais antigo, guardava certa semelhança, mas usava hieróglifos para representar potências



de 10:
Os valores eram expressos pela repetição dos símbolos. Os números egípcios podiam ser escritos da direita para a esquerda e da esquerda para a direita, ou na vertical.
1.223, então, fica assim:



Outra característica do nosso sistema é ser organizado em base 10 - cuja origem deve estar provavelmente nas contagens que os homens primitivos faziam com os dedos. Mas também existem sistemas em base 12 ou em 20.



A escolha da base duodecimal por alguns povos tem suas justificativas na natureza. Pode ter sido inspirada no número aproximado de voltas que a Lua dá em torno da Terra durante a translação do planeta em torno do Sol, na soma das falanges dos dedos de uma mão, sem contar o polegar, ou na soma de todos os dedos das mãos mais dois pés. Esse sistema serviu para definir a divisão do dia em horas (12 para o dia e 12 para a noite), grandezas como dúzia e medidas como o pé (12 polegadas).



Menos conhecido por nós é o sistema vigesimal (base 20), que deve ter origem parecida com o de base 10 (nesse caso, somam-se os dedos dos pés e das mãos).



Ele está presente na forma como os franceses denominam os números: para 80, eles dizem quatre vingt (quatro vinte) e para 90, quatre vingt dix (quatro vinte dez).

Quer saber mais?

BIBLIOGRAFIA
Didática da Matemática - Reflexões Psicopedagógicas
, Cecilia Parra e Irma Saiz (orgs.), 258 págs., Ed. Artmed, tel. 0800-703-3444, 42 reais
Ensinar Matemática na Educação Infantil e nas Séries Iniciais - Análises e Propostas, Mabel Panizza e colaboradores, 188 págs., Ed. Artmed, 40 reais  

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Publicado em Setembro 2009,
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