Relações de ordem entre frações

Objetivos
- Ordenar frações.
- Localizar números fracionários entre inteiros.
- Intercalar uma fração entre outras duas frações dadas.

Conteúdo
- Frações.

Ano
6º ano.

Tempo estimado
4 aulas.

Material necessário
Lápis, papel e borracha.

Desenvolvimento

1ª parte
Inicie a sequência dividindo a turma em duplas e propondo que resolvam os problemas abaixo.

1) Os números a seguir se encontram entre 0 (zero) e 3:

3/7; 8/3; 4/5; 11/4; 21/35; 1 5/7; 9/5; 17/7; 14/5 e 11/9.

Localize-os na coluna correspondente:

Frações/Intervalos	Entre 0 e 1	Entre 1 e 2	Entre 2 e 3
3/7
8/3
4/5
11/4
21/35
1 5/7
9/5
17/7
14/5
11/9

2) Entre que números inteiros se localizam as seguintes frações?

47/4, 28/3, 33/7, 84/9, 9/5, 85/12, 125/10

Para resolvê-los, os alunos terão que lançar mão de seus conhecimentos sobre a localização de frações entre inteiros. Para tanto, eles devem decompor a fração dada como sendo a adição de frações equivalentes a números inteiros mais a fração restante. Tomemos, como exemplo, a localização de 11/4. Este número pode ser desmembrado como 4/4 + 4/4+3/4, ou seja, 2+3/4, o que leva a concluir que 11/4 está entre 2 e 3. A análise dessa estratégia pode levar a procedimentos mais econômicos, como por exemplo, a pergunta quantas vezes 4 "cabe" em 11? Isso permite expressar mais diretamente 11/4 como soma de 8/4 + 3/4.

A pergunta "quantas vezes entra?" pode ser resolvida matematicamente com uma divisão. Na realidade, 11 dividido por 4 tem quociente 2 (os inteiros que é possível formar) e resto 3 (os quartos que não chegam a formar outro inteiro). Este caminho articula estratégias mais "artesanais", como o procedimento de dividir o numerador pelo denominador para expressar uma fração como número misto. Em seguida, abra espaço para discutir e socializar as estratégias utilizadas.

É interessante observar com os alunos que o número misto permite localizar rapidamente as frações entre dois inteiros.

2ª etapa
Depois de colocar os problemas 1 e 2, proponha um terceiro problema às duplas.

3) Encontre, se possível, as frações detalhadas a seguir. Se não for possível, explique o porquê:

Uma fração com denominador 3 entre 0 (zero) e 1

Uma fração com denominador 5 entre 4 e 5

Uma fração com numerador 1 entre 0 e 1

Uma fração com numerador 2 entre 1 e 2

Uma fração com numerador 2 entre 3 e 4

É preciso dar um tempo para turma explorá-lo, pois é possível que eles não encontrem o resultado imediatamente. Para o primeiro caso, ao buscar frações com denominador 3, é provável que os alunos testem: 1/3; 2/3; 3/3; 4/3. É esperado que eles concluam que não é preciso continuar, pois 3/3 é equivalente a 1 e as outras frações com denominador 3 são maiores que 1. Portanto, há 2 frações com denominador 3 entre 0 e 1.

Este problema leva os estudantes a obter uma conclusão que se refere a um conjunto infinito: de todas as frações com denominador 3, as únicas que estão entre 0 e 1 são 1/3 e 2/3. Proponha que anotem suas descobertas em seus cadernos e elaborem um argumento para este tipo de situação sem a necessidade de testar caso a caso. Para localizar frações entre 4 e 5 com denominador 5, é conveniente expressar o 4 e 5 como frações de denominador 5, assim 4 é o equivalente a 20/5 e 5 é equivalente a 25/5. Não se trata de um problema de resposta imediata para os alunos. Se você decidir propô-lo em sala de aula, precisará proporcionar um tempo de exploração, que gerará novas relações.

Os últimos itens do problema proposto são bem mais complexos, por isso você decide se irá apresentá-los à turma ou não. Em nenhum dos casos é possível encontrar frações com as condições pedidas (por exemplo, frações com numerador 2 entre 3 e 4, já que 2/2 é equivalente a 1 e a medida que os denominadores se tornam maiores, a fração se distancia cada vez mais de 1).

Novamente, os alunos se vêm em situação de produzir um argumento que assegure uma conclusão sobre um conjunto infinito, já que não é possível a exploração caso a caso. Abra um espaço para a discussão das estratégias utilizadas e peça para anotarem as conclusões.

3º etapa
Proponha o exercício a seguir às duplas.

4) A seguinte lista de frações está ordenada da menor a maior. Onde você localizaria ½? E 1 5/7?

2/5     4/7     5/4      12/8     15/8     19/7

Uma estratégia possível para localizar ½ dentro de uma série de frações já ordenadas é ir comparando a primeira com cada uma das demais. A primeira fração (2/5) é menor que ½, já que um inteiro é equivalente a 5/5. A metade de 5/5 é igual a 2/5+1/10. A fração que segue é 4/7. Pelo mesmo raciocínio, a metade de 7/7 é 3/7 + 1/14; portanto ½ se localiza entre 2/5 e 4/7.

Avaliação
Para finalizar o trabalho, proponha o exercício abaixo.

5) Intercale uma fração entre cada par de números:

a) 3/5,   6/5;

b) ½, ¾;

c) 5/12, 6/12;

d) 4/5, 1

Nesse problema, provavelmente não será difícil para os alunos intercalarem uma fração entre 3/5 e 6/5.

Na letra b), é provável que pensem que o problema não tem solução, principalmente se considerarem que ½ é equivalente a 2/4 e que portanto não existe uma fração com denominador 4 entre 2/4 e ¾. Proponha que continuem pensando nas equivalências, por exemplo, relacionando a fração 5/8 às demais dadas. Entra em jogo aqui a noção de densidade, conceito de elaboração lenta que é trabalhado neste problema de maneira exploratória.

Para concluir, pontue a diferença entre esta situação e a do problema 3: entre duas frações dadas, existem infinitas outras (caso do problema 5). Porém, se impomos alguma outra condição (problema 3) pode ser que haja uma quantidade finita ou mesmo nenhuma.

Fonte
Proposta adaptada do documento Apuntes para la Enzeñanza: Matemática - Fracciones y Números Decimales (prefeitura de Buenos Aires)