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Sequência Didática

Iniciando o estudo da inequação do 1º grau

Apresente à turma a noção de desigualdade matemática e trabalhe o conceito de inequação do 1º grau com uma incógnita

Objetivos
- Explorar os diferentes significados de desigualdade.
- Relacionar os diferentes significados de desigualdade ao conceito de inequação do 1º grau com uma incógnita.
- Estabelecer semelhanças e diferenças entre os princípios da igualdade e da desigualdade.
- Relacionar expressões envolvendo desigualdades escritas na língua materna e na linguagem matemática

Conteúdos
- Inequação do 1º grau com uma incógnita.
- Princípios da igualdade e da desigualdade.
- Linguagem algébrica.

Anos
8º e 9º anos.

Tempo estimado
Cinco aulas.

Material necessário
Lápis, borracha, papel e cópias das atividades.

Desenvolvimento
1ª etapa
Escreva no quadro a palavra Desigualdade e peça aos alunos para dizerem o que ela significa para eles. Incentive-os a associar cada significado a uma situação e/ou frase que a exemplifique. Anote as respostas no quadro e peça a eles para fazerem o mesmo nos cadernos. Em seguida, organize os estudantes em duplas e distribua uma folha com manchetes de jornais, revistas, sites contendo a palavra desigualdade, conforme exemplos a seguir, retirados do jornal O Estado de São Paulo:

Desigualdade crescer no país, alerta OCDE. Dilma quer investimentos em educação e saúde para atacar desigualdade na ‘raiz’.
Desigualdade racial na educação do País persiste, mas começa a diminuir.
Cidades brasileiras integram lista das mais desiguais.
Mulheres ainda enfrentam desigualdade no trabalho.

As duplas deverão identificar os significados relacionados à desigualdade em cada manchete e associá-los aos significados apontados anteriormente. Se preciso, entregue as reportagens completas para auxiliá-los na resolução da atividade. Terminada a tarefa, coordene uma conversa entre os alunos cujo tema seja os diferentes significados de desigualdade presentes nas manchetes / reportagens e como eles se posicionam diante deles. Para isso, apresente o verbete Desigualdade retirado de um bom dicionário. Peça que eles, durante a leitura, destaquem quais significados foram identificados nas reportagens e relacionados por eles no início da aula e quais não foram contemplados.

2ª etapa
Explique para a turma que a partir de então será iniciado o estudo de desigualdade em matemática. Em seguida, organize-os em duplas e proponha a resolução das três situações a seguir:

  • Situação 1: José gastou 150 reais na compra de uma camiseta que custou 20 reais e de alguns calções que custaram 26 reais cada um. Quantos calções foram comprados por José?
  • Situação 2: José gastou menos de 150 reais na compra de uma camiseta que custou 20 reais e de alguns calções que custaram 26 reais cada um. Quantos calções foram comprados por José?
  • Situação 3: José gastou mais de 150 reais na compra de uma camiseta que custou 20 reais e de alguns calções que custaram 26 reais cada um. Quantos calções foram comprados por José?

Acompanhe o trabalho realizado pelas duplas. Incentive diferentes estratégias de resolução para o mesmo problema e registre os nomes dos alunos que serão chamados para compartilhar o que fizeram com os demais. Anote também algumas resoluções incorretas. Auxilie os alunos com dificuldades fazendo intervenções que considerem, de fato, o que eles não sabem e/ou o que já anotaram no caderno: escute-os e interprete os registros antes de propor algo, tendo o cuidado de não informar um determinado procedimento de resolução. Se for preciso, reorganize as duplas, transformando-os em quartetos, de tal modo que uma dupla auxilie a outra a superar as dificuldades percebidas por você. Em seguida, organize um Painel de Resolução das três situações, socializando diferentes estratégias para chegar às respostas. Incentive o registro de, pelo menos, duas resoluções diferentes de cada problema.

Depois, compartilhe algumas resoluções incorretas (sem mencionar os autores). Peça a todos para analisá-las e propor dicas para que os erros identificados não sejam cometidos na resolução de situações semelhantes. A próxima tarefa dos alunos é estabelecer, coletivamente, diferenças e semelhanças entre os textos dos problemas e as respectivas resoluções. Divida o quadro ao meio, escreva os títulos Semelhanças e Diferenças.

Problematize as contribuições dos alunos de tal modo que todos consigam argumentar por que concordam ou não com elas. Peça aos alunos para registrarem a síntese nos respectivos cadernos.

Em seguida, relembre quais foram os significados atribuídos à palavra desigualdade na aula anterior e termine esta etapa perguntando aos alunos: quais problemas envolvem a ideia de desigualdade? Por quê? Organize as ideias através da apresentação do que é uma desigualdade em matemática: A desigualdade é uma frase em matemática na qual podem aparecer os sinais < (menor que), > (maior que), ≤ (menor ou igual a) ≥ (maior ou igual a) ou ≠ (diferente). Todos esses sinais indicam uma desigualdade. Forneça alguns exemplos e peça aos alunos para sugerirem outros. Registre-os no quadro (os corretos e os incorretos) e avise os alunos que as contribuições deles serão retomadas na próxima aula.

Proponha aos alunos a realização de outras atividades semelhantes às apresentadas na 2ª etapa, para que eles possam retomar o conhecimento que foi sistematizado sobre a resolução de situações envolvendo a ideia de desigualdade. As soluções podem ser encontradas em casa e a discussão sobre elas pode ser feita em sala de aula, como estratégia para retomada do que foi estudado anteriormente.

Algumas possibilidades:

  • Situação 4: José e Márcio fazem parte da equipe de atletismo da escola. Juntos, eles já ganharam 20 medalhas em campeonatos. José possui mais medalhas do que Márcio. Quantas medalhas José possui?
  • Situação 5: José e Márcio fazem parte da equipe de atletismo da escola. Juntos, eles já ganharam 20 medalhas em campeonatos. José possui 5 medalhas a mais do que Márcio. Quantas medalhas José possui?
  • Situação 6: José e Márcio fazem parte da equipe de atletismo da escola. Juntos, eles já ganharam 20 medalhas em campeonatos. José não possui menos do que 5 medalhas. Quantas medalhas Márcio possui?
  • Situação 7: Pensei em um número. Multipliquei-o por 3 e, ao resultado, adicionei 10. Obtive 37. Em que número eu pensei?
  • Situação 8: Pensei em um número . Multipliquei-o por 3 e, ao resultado, adicionei 10. Obtive um número maior que 37. Em que número eu pensei?
  • Situação 9: Pensei em um número . Multipliquei-o por 3 e, ao resultado, adicionei 10. Obtive um número maior que 37 e menor do que 47. Em que número eu pensei?

3ª etapa
Retome os exemplos de desigualdades registrados na aula anterior. Organize os estudantes em quartetos e informe-os que a atividade que eles realizarão foi organizada para permiti-los decidir se as escritas representam, de fato, desigualdades em matemática e também para apresentar os princípios da desigualdade. Distribua para cada aluno a folha a seguir:

O que acontece com a desigualdade 10 > 6 se:
a) adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade aos números de cada um de seus membros?
b) multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo valor os números de cada um de seus membros?

Incentive os quartetos a utilizarem números racionais na forma decimal e fracionária, positivos e negativos como, por exemplo: adicionar 5, - 3/7, ½ ou - 4,25 aos dois números da desigualdade, ou, multiplicar os dois números da desigualdade por -10, - 1/3, 5/8 ou 0,9.

Sistematize as aprendizagens apresentando os princípios da desigualdade e utilize os exemplos dos alunos para justifica-las. Em seguida apresente os princípios da igualdade, utilizados anteriormente pelos estudantes para resolverem equações do 1º grau, incentive-os a estabelecer semelhanças e diferenças com os princípios da igualdade e, finalmente, ajude-os a perceber que, quando multiplicamos ou dividimos cada membro de uma desigualdade por um mesmo número, inverte-se o seu sentido. Termine esta etapa solicitando aos alunos para retomarem os exemplos citados por eles e verificarem se, de fato, representam desigualdades. Se for preciso, faça as intervenções necessárias.

4ª etapa
Escreva no quadro as escritas 26n + 20 < 150 e 26n + 20 > 150. Pergunte quais interpretações os alunos fazem de cada frase matemática. Anote todas as respostas no quadro e incentive o estabelecimento de relações entre elas. Caso não surjam como exemplos, respectivamente, as situações 2 e 3 estudadas na 2ª etapa, retome-as e peça aos alunos para fazerem relações entre elas e as escritas acima.

Realizadas as identificações, aproveite as escritas 26n + 20 < 150 e 26n + 20 > 150 para apresentar o conceito de inequações do 1º grau com uma incógnita. Finalize essa etapa propondo a escrita de algumas frases na forma de inequações do 1º grau. Neste momento, não se preocupe com procedimentos de resolução de inequações, mas sim com o desenvolvimento e a compreensão da linguagem algébrica pelos alunos.

Acompanhe o trabalho dos alunos, faça as intervenções necessárias e registre o que deve ser retomado com todos os alunos. Pode surgir, por exemplo, para a frase "2 vezes um número, mais 5 é menor ou igual a 15", a escrita 2(n + 5) ≤ 15. Caso isso aconteça, registre no quadro a frase "o dobro entre a soma de um número e 5 é menor ou igual a 15" e peça aos alunos para compararem as duas frases. Ajude-os a perceber que a primeira frase "2 vezes um número, mais 5 é menor ou igual a 15", pode ser escrita na linguagem matemática dessa maneira: 2•n + 5 ≤ 15, enquanto a outra, pode ser registrada assim: 2(n + 5) ≤ 15.

Além da frase acima, outras poderão exigir mais deles como, por exemplo, aquelas que contenham expressões do tipo "não é menor que zero" ou "não é maior que zero", que equivalem, respectivamente, a "maior ou igual a zero" e a "menor ou igual a zero". Se, diante da frase "o quádruplo de um número diminuído em 6 unidades não é menor que zero", surgirem registros semelhantes a 4•x - 6 > 0, pergunte aos alunos como reescrever a frase sem utilizar a expressão "não é menor que zero" mas mantendo o mesmo sentido.

Caso seja necessário, sugira algumas possibilidades: menor que zero, maior que zero, menor ou igual a zero e maior ou igual a zero. Auxilie os a perceber que a expressão "não é menor que zero" equivale a "maior ou igual a zero". Aproveite a atividade para avaliar, também, a compreensão dos alunos em relação a termos específicos da matemática: dobro, quociente, soma, diminuído...

Algumas possibilidades:
a) Um número aumentado em 4 unidades
b) O dobro de um número é maior que 10
c) 2 vezes um número, mais 5 é menor ou igual a 15
d) 3 vezes a soma de 5 e um número é menor que 20
e) o quociente de um número e 2 é maior ou igual a 6
f) o quádruplo de um número diminuído em 6 unidades não é menor que zero.

Avaliação
Consulte o livro didático adotado pela escola e/ou outro material didático e proponha atividades envolvendo a relação entre a língua materna e a linguagem algébrica, conforme sugerido ao final da etapa anterior. Durante a realização da atividade, acompanhe os alunos e avalie se eles compreenderam os significados dos sinais de desigualdade e também de termos específicos da matemática: dobro, quociente, vezes...

Diante dos alunos que estão demonstrando maiores dificuldades, realize a correção da atividade e proponha frases complementares. Enquanto você acompanha esses alunos fazendo as intervenções necessárias, os demais estão resolvendo algumas das inequações formuladas a partir das frases escritas na língua materna, por meio de procedimentos pessoais. Na próxima etapa, inicie o estudo da resolução de inequações do 1º grau com uma incógnita por meio da socialização e discussão os procedimentos pessoais apresentados por estes alunos.

Consultoria Humberto Luis de Jesus
Assessor técnico da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.

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