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Atividade Permanente

Tabela Pitagórica para aprender multiplicação

Confira como utilizar esse excelente recurso para provocar a reflexão sobre as relações de proporcionalidade nas multiplicações

Objetivo
Adquirir recursos para reconstruir rapidamente os resultados das multiplicações básicas.

Conteúdos
- Sistematização e ampliação do repertório de multiplicações.
- Exploração das relações de proporcionalidade envolvidas nas multiplicações.

Anos
Do 3º ao 5º ano.

Tempo estimado
Ao longo do ano inteiro.

Materiais necessários
Tabela pitagórica para completar (uma por aluno);
Cartaz com a mesma tabela (reproduzida em tamanho grande) para a análise coletiva posterior;
Tabelas com alguns erros para os alunos corrigirem.

Desenvolvimento
1ª etapa
Proponha que os alunos completem a tabela pitagórica. Diga que analisem diferentes relações entre os números e de que maneira podem encontrar alguns resultados das multiplicações a partir de outros. Por exemplo, para saber quanto é 7 x 8, é possível pensar no dobro de 7 x 4, ou no quádruplo de 7 x 2, ou ainda, pensar em 5 x 8 + 2 x 8, ou em 7 x 10 - 7 x 2. Apresente uma tabela pitagórica para os alunos e explique como preenchê-la. Proponha que, individualmente, preencham os quadradinhos correspondentes àqueles produtos que lembram de memória.

Tabela pitagórica para aprender multiplicação

Reserve um tempo para que preencham os resultados que lembram de memória e em seguida proponha a discussão coletiva. O aspecto central dessa discussão é que os alunos reflitam sobre como usar os resultados que se lembram para encontrar outros a partir das relações entre as diferentes fileiras e colunas desta tabela. Para a tabuada do 5, por exemplo, é interessante retomar o que os alunos sabem sobre a multiplicação por 10, chegando a formulações como: a tabuada do 5 é fácil porque todos os números terminam em 0 ou em 5; se olharmos a tabuada do 5 de dois em dois quadradinhos, a partir do 10 (5 x 2), encontramos a tabuada do 10, porque duas vezes cinco equivale a uma vez dez; se olharmos a tabuada do 5 de dois em dois quadradinhos, a partir de um número que termina em 5, chega-se em outro número que também termina em 5, que é o resultado de se somar 10 ao resultado anterior; multiplicar por 5 é a metade de multiplicar por 10. 

Do mesmo modo, é possível analisar a relação entre as fileiras ou colunas do 2 e do 4, onde os resultados da segunda são o dobro dos da primeira; ou entre o 4 e o 8; entre o 3 e o 6; o 5 e o 10. Ou as relações entre a fileira ou a coluna do 2 e do 8, onde os resultados da segunda são o quádruplo dos da primeira; ou do 9 e do 3, onde os resultados da primeira são o triplo dos da segunda. Também é possível estabelecer que os resultados da fileira ou da coluna do 7 podem ser constituídos somando os resultados das fileiras ou colunas do 3 e do 4; ou subtraindo, por exemplo, das multiplicações por 10 os resultados da multiplicação por 3 etc. Do mesmo modo, é possível conhecer os resultados de outras multiplicações, tais como as multiplicações por 9, a partir da soma dos resultados da multiplicação por 4 e por 5; por 7 e por 2, ou ao subtrair 9 do resultado das multiplicações por 10; etc.

Algumas atividades para sistematizar tais discussões podem ser: 

1-

Tabela pitagórica para aprender multiplicação

2- Sem fazer o cálculo, escreva as seguintes contas em ordem crescente: 

6x6     3x5 
4x5     6x7
5x5     8x7
9x8     9x10
8x8

3 - Complete as seguintes tabelas:

Tabela pitagórica para aprender multiplicação

Em síntese, trata-se de estabelecer uma rede de relações entre multiplicações a partir da tabela da multiplicação, porém estas relações não substituem a memorização dos resultados no momento de realizar um cálculo.

2ª etapa
A propriedade comutativa da multiplicação faz com que baste memorizar a metade dos produtos do quadro. Esse aspecto se refere aos resultados que se repetem a partir de um eixo de simetria constituído por uma diagonal do quadro. Isto, baseado na comutatividade da multiplicação, permite reconstruir uma metade do quadro a partir do conhecimento da outra metade. 

Proponha aos alunos a análise coletiva e registre no caderno as descobertas que fizerem acerca do eixo de simetria.

Tabela pitagórica para aprender multiplicação

Proponha aos alunos que busquem diferentes multiplicações que cheguem a um mesmo resultado. Por exemplo, 24, 18, 30, 32, 36.

Se sabemos que 4 x 6 é igual a 24, fica fácil saber que 6 x 4 também é igual. O mesmo com 8 x 9, que é igual a 72, 9 x 8 também é igual a 72. Ter consciência de que os resultados de metade da tabela pitagórica são os mesmo da outra metade, facilita o entendimento das regularidades e a memorização dos resultados.

3ª etapa
As multiplicações por 0 e por 1 são casos especiais. Proponha a reflexão sobre o que acontece quando se multiplica por 0 e por 1, respectivamente. Organize anotações no caderno.

4ª etapa
Proponha aos alunos um jogo para sistematizar as descobertas sobre as regularidades e propiciar o aumento do repertório de cálculos: mostre aos alunos a tabela da multiplicação do cartaz completa, com alguns quadradinhos tapados, e peça que anotem em seus cadernos os resultados das multiplicações que se encontram ocultos (eles não podem consultar suas tabelas pessoais). 

Em outro momento, entregue tabelas completas, mas contendo alguns erros, e solicite que os alunos os corrijam.

5ª etapa
É necessário propor, em sucessivas oportunidades, um trabalho sistemático dirigido a memorização deste repertório pelos alunos. Para isto, peça que anotem quais são as multiplicações que recordam facilmente, de memória, e não precisam voltar a calcular a cada vez e, quais as que são mais difíceis de recordar. Em momentos coletivos, os alunos poderão apresentar as multiplicações que consideram mais difíceis e, junto com seus colegas, buscar pistas - a partir das diferentes relações - que permitam recordá-las.
 
Por exemplo, se alguém não lembra quanto é 9 x 8, é possível reconstruir essa multiplicação a partir de:
9 x 4, vimos que 9 x 8 é o dobro de 9 x 4: 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72;
9 x 8 = 9 x 5 + 9 x 3 = 45 + 27 = 72;
9 x 8 = 5 x 8 + 4 x 8 = 40 + 32 = 72;
10 x 8 - 8 = 80 - 8 = 72;
9 x 10 - 9 x 2 = 90 - 18 = 72;
etc. 

Estas "pistas" ficarão registradas nos cadernos para que os alunos possam voltar a elas tantas vezes quanto seja necessário. Toda essa bagagem de conhecimentos constituirá uma trama que contribuirá para o trabalho de memorização das tabuadas que inevitavelmente os alunos deverão realizar. 

Periodicamente, entregue uma série de cálculos para os alunos realizarem individualmente em um curto período de tempo e sem consulta às pistas do caderno, a fim de verificar se o repertório de cálculos memorizados está aumentando gradativamente.

6ª etapa
Proponha problemas que devam ser resolvidos com a calculadora. Tais problemas devem requerer a reconstrução de um resultado da tabela da multiplicação a partir de outros: 

Se na calculadora você precisar fazer as seguintes multiplicações, mas a tecla do 8 não estiver funcionado. Como poderá fazê-las?
4 x 8 =
6 x 8 =
7 x 8 =
5 x 8 = 

Se você precisar fazer estas outras multiplicações sem usar a tecla do 6?
9 x 6 =
8 x 6 =
7 x 6 = 

E se você precisar fazer estas outras sem usar a tecla do 7?
4 x 7 =
10 x 7 =
5 x 7 =

Avaliação
Para que os próprios alunos possam ir controlando quais são os resultados das multiplicações que se recordam e quais não, proponha o seguinte jogo: fale uma multiplicação e a anote na lousa. Dê um breve tempo para que os alunos, individualmente, a escrevam em seus cadernos e anotem também seu resultado. Em seguida, dite outra multiplicação e os alunos repetem o procedimento. Mesmo que não lembrem o resultado copiam a multiplicação. 

Depois de várias multiplicações, solicite que confiram os resultados com a calculadora e proponha a discussão coletiva sobre quais foram as multiplicações que vários alunos não puderam responder ou erraram. 

Selecione quais multiplicações irá analisar e coordene, então, uma discussão coletiva entre todos os jogadores. Construam, coletivamente, "pistas" que permitam recordar essas multiplicações em uma próxima oportunidade. 

Oriente os alunos para organizarem as multiplicações que precisam estudar. Para isto, proponha o trabalho individual no caderno e peça que agrupem as multiplicações mais difíceis, que anotem as pistas sugeridas na aula e que, além disso, solicitem pistas para algumas multiplicações que não foram discutidas coletivamente. Oriente que organizem um estudo diário ao longo dos dias.

Consultoria: Simone Azevedo
Da Equipe Pedagógica da Comunidade Educativa CEDAC, adaptado "Plan Plurianual para el Mejoramiento de la enseñanza - Cálculo mental con números naturales - Docente", do Governo da Cidade de Buenos Aires, Secretaria de Educação, Direção Geral de Planejamento. Coordenação autoral: Patricia Sadovsky. Elaboração do material: María Emilia Quaranta, Héctor Ponce

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