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1 O que são adição e subtração?

Sob a perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais, adicionar e subtrair são ações vinculadas ao campo aditivo

Crianças debatem como resolver problemas de adição e subtração. Foto: Suzete Sandin
Para saber qual operação usar em um problema, as crianças precisam considerar o que o enunciado pede
Juntar, tirar, ganhar, perder e comparar quantias são alguns dos verbos relacionados à adição e à subtração. Mas os conceitos que envolvem essas duas operações básicas não significam o uso de palavras-chave para realizar contas "de mais" ou "de menos". De acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, desenvolvida na década de 70 pelo psicólogo francês Gérard Vergnaud, as operações são duas faces de uma mesma moeda. O pesquisador estudou as aprendizagens matemáticas com base na nas relações estabelecidas pelos problemas e não na operação em jogo. "Ela (sua teoria) é fundamental para ensinar a disciplina, pois permite prever formas mais eficientes de trabalhar os conteúdos," afirma. Ele classifica as questões que envolvem a adição e a subtração dentro do campo aditivo e as de multiplicação e divisão pertencentes ao campo multiplicativo. 

Nas escolas, no entanto, a adição e a subtração são entendidas muitas vezes apenas como operações opostas ou conflitantes: ganhar e colocar correspondem à adição, já perder e tirar, à subtração. Vergnaud considera que uma mesma situação do campo aditivo pode ser proposta de diferentes formas que determinam qual operação usar, a adição ou a subtração. As questões relacionadas ao campo aditivo são divididas em cinco classes que variam conforme a relação e a alteração dos números. Essas categorias podem ser percebidas com o enunciado do problema. São elas: 

• Transformação - Alteração do estado inicial por meio de uma situação positiva ou negativa que interfere no resultado final. 

• Combinação de medidas - Junção de conjuntos de quantidades pré-estabelecidas. 

• Comparação - Confronto de duas quantidades para achar a diferença. 

• Composição de transformações - Alterações sucessivas do estado inicial. 

• Estados relativos - Transformação de um estado relativo em outro estado relativo (essa categoria não é abordada nos Parâmetros Curriculares Nacionais, PCNs, do Ensino Fundamental por ser de maior complexidade e, por isso, não trataremos de problemas referentes a ela). 

Para cada um dos tipos de problemas, a escolha sobre a operação a ser usada depende do que é pedido no enunciado. No item 3.2 Interpretação de enunciados, você encontra exemplos de problemas para usar em sala de aula. 

Dá para perceber que essas concepções mudam totalmente a maneira de ensinar adição e subtração, certo? As diferenças entre a perspectiva anterior sobre o ensino da adição e da subtração de Vergnaud podem ser mais bem compreendidas com o quadro abaixo:

 

 PERSPECTIVA ANTERIORPERSPECTIVA DO CAMPO ADITIVO
ENUNCIADOA incógnita está sempre no fim do enunciado (5 + 5 = ?; 16 - 3 = ?)A incógnita pode estar em qualquer parte do enunciado (? + 5 = 10; 16 - ? =13)
PALAVRAS-CHAVEPalavras como "ganhar" e "perder" dão certeza ao aluno sobre a operação a ser usadaNão se estimula o uso. As crianças precisam analisar os dados do problema para decidir a melhor estratégia a ser utilizada (João tinha algumas bolinhas de gude, ganhou 5 num jogo e ficou com 15. Quantas bolinhas ele tinha antes?)
COMO O ALUNO PENSAPara chegar ao resultado, é preciso saber qual operação usar (adição ou subtração)Com várias possibilidades de chegar ao valor final, o aluno tem mais autonomia e o pensamento fica menos engessado
RESOLUÇÃOEstá diretamente ligada à operação proposta no enunciadoEstá atrelada à análise das informações e à criação de procedimentos próprios
INTERAÇÃO COM O ALUNOCabe ao professor validar ou não a resposta encontradaO professor propõe discussões em grupo e o aluno tem recursos para justificar seus procedimentos
REGISTROConta armadaO percurso do raciocínio é valorizado, seja ele feito com contas parciais, armadas ou não, desenho de pauzinhos ou outra estratégia

Consultoria Lúcia Mesquita e Virgínia Villaça, professoras do Colégio Santa Cruz, em São Paulo, SP

Diferenças entre as operações

Mesmo que sejam da mesma família, o professor deve sempre considerar quais são as diferenças entre as operações para refletir sobre os procedimentos que os alunos lançam mão na hora de resolver um problema ou até uma conta armada. A comutabilidade e a associabilidade são propriedades da adição que a subtração não tem. Claro que não é necessário explicar para os alunos o que são esses termos, mas é preciso ter em mente o que significam. Comutabilidade é a possibilidade de se alterar a ordem dos termos de uma soma e isso não influenciar em seu resultado (a+b = b+a). Já a associabilidade é a qualidade da adição que permite que, em somas associadas de mais de um termo, o resultado também não seja alterado a+(b+c) =b+(c+a). Trocando em miúdos, essas duas características não se repetem nas subtrações, em que (a-b)≠(b-a) e [a-(b-c)]≠[b-(c-a)].

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Gilberto Gil Silva Ribeiro - Postado em 02/09/2012 14:05:19

Olá amigos, precisamos compreender que nem a subtração e nem a divisão podem ser consideradas operações. Na verdade, temos apenas duas operações, a saber: adição e multiplicação. Qual a justificativa? A exisitência das propriedades de associabilidade e comutatibilidade, por exemplo. Portanto, não esqueçamos de considerar esses fatos e evitemos chamar de quatro operações. Um abraço!

Giscleide caline freitas clementino - Postado em 28/08/2012 21:26:34

Achei muito bom esse material.Tenhe me ajudado muito com a minha turma de 1º ano.Eles usam varias estrategias na resolução dos problemas.com novas informações o educador pode fazer as intervenções para a turma avançar.E sempre bom contar com a nova escola nessa missão de educar.Obrigada!

Rossandra Botelho dos Santos - Postado em 19/08/2012 19:08:01

Gostei muito desse material e estou aqui estudando o assunto para ajudar minha filha, que está no 3º ano e está com dificuldades na interpretação dos problemas. E achei muito interessante a teoria de Vernaug (que não conhecia) a respeito do campo aditivo. Vou a partir de agora estar mais atenta às informações que os problemas trazem para ajudá-la a resolver e que ela possa ter êxito ao final do ano, como rege os PCN's. Obrigada NOVA ESCOLA!

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