Toda imagem é feita de equações

Observe a gravura acima. A simetria das duas mãos, a desconcertante perspectiva dos lápis, a terceira dimensão insinuada pela sombra no papel podem ser traduzidas em fórmulas matemáticas. Com elas é possível perscrutar o interior do corpo humano, projetar carros ou fazer desenhos animados, como Formiguinhaz

Objetivos
Compreender conceitos matemáticos envolvidos na produção tecnológica; Usar elementos geométricos para compreeder fenômenos aleatórios

Introdução
O que há em comum entre uma tomografia computadorizada e o número de agulhas de costura que, quando soltas de certa altura, caem exatamente entre retas paralelas traçadas no chão? Ora, dirão seus alunos, contar agulhas... Mas é essa a proposta desta aula, para mostrar que uma brincadeira de aparência inútil pode gerar frutos tão surpreendentes quanto as tomografias. A aula evidencia aplicações de uma fórmula secular que permite a obtenção de dados no interior do corpo e sua conversão em imagens. Outras equações tornam possíveis a produção de desenhos animados em 3-D e até o planejamento de estações orbitais.

O Pi da questão
Em 1777, o naturalista francês George Louis Leclerc (1707-1788), Conde de Buffon, um matemático apenas amador, publicou um pequeno ensaio sobre o cálculo de probabilidades, em que analisou o problema a seguir. Uma agulha de comprimento a é mantida horizontalmente a certa altura de uma folha de papel com riscos paralelos, espaçados de uma distância d um do outro, sendo d maior do que a.

Deixando-se a agulha cair sobre a folha, ela poderá cruzar uma das retas ou ficar entre duas delas. Buffon queria determinar a probabilidade de que a agulha cortasse uma das retas e resolveu o problema não experimentalmente, mas com raciocínios elementares envolvendo ângulos e áreas. Obteve para a probabilidade procurada p a expressão:
p = 2a d

A ocorrência do número , sempre associado a circunferências, pode parecer inesperada porque não há tal figura no problema. É possível, porém, explicá-la se lembrarmos que para cada ponto do papel o conjunto das possibilidades de queda da agulha situa-se num círculo.

A fórmula obtida permite tanto determinar p conhecendo a, como calcular a conhecendo p. Mas para que determinar o comprimento da agulha se basta medi-lo?

Enfim, uma utilidade
Laplace (1749-1827), matemático e astrônomo francês, dizia que os geômetras jamais usariam esse processo para obter o tamanho da agulha, no que estava certo. Passaram-se dois séculos até que um físico e um engenheiro lembraram-se do tamanho da agulha e encontraram utilidade para o problema de Buffon. Eles pretendiam construir um aparelho de raios-X que lhes permitisse determinar o tamanho real de formações no interior do corpo humano, inacessíveis, portanto, a uma medição direta. E imaginaram que, nessa situação, as retas paralelas sobre a folha de papel poderiam se transformar no feixe paralelo de radiações, disparado sucessivamente em diferentes direções sobre o objeto cuja dimensão desejavam determinar. Em outras palavras, na impossibilidade de jogar a agulha sobre as linhas, jogaram as linhas sobre a agulha. Os feixes que atravessam a formação no corpo humano são identificados medindo-se sua intensidade na emissão e na recepção. A probabilidade p de os raios cruzarem a agulha é calculada contando-se os feixes que a interceptam e dividindo pelo total de feixes emitidos. Assim, o comprimento a pode ser determinado indiretamente recorrendo à fórmula de Buffon:
a = d p 2

O processo todo exige a medida de enorme número de diminutos segmentos, quase pontuais, de modo a montar uma figura completa. Uma tarefa árdua, possível apenas com os computadores, que convertem as informações de intensidade, posição e dimensão em dados binários, que serão transformados em imagem no monitor.

Embora os aparelhos de ressonância magnética funcionem sem raios-X, mas sim com a radiação emitida pelo hidrogênio (veja quadro), os fundamentos matemáticos são similares ao da tomografia.

As imagens tridimensionais que o Signa mostra são obtidas por meio de leituras feitas em três planos diferentes, resultando, como na ilustração da reportagem de VEJA, em três visões: uma frontal, uma lateral e uma posterior.

Atividades
1. Peça aos alunos para realizar o experimento proposto pelo Conde de Buffon. Um palito de fósforo pode fazer as vezes de agulha para ser abandonado sobre uma folha de papel com traços paralelos, com distância um do outro maior que o comprimento do palito. Sugira que repitam o procedimento umas 50 vezes, contando em quantas delas o palito cruza, toca ou cai sobre uma das linhas. Dividindo esse número pelo total de vezes em que o palito foi abandonado, eles obterão o valor da probabilidade p. Peça ainda para que comparem esse valor com o previsto teoricamente pela fórmula de Buffon.

2. Eles podem realizar o experimento mais rapidamente deixando cair de uma vez diversos palitos. A mesma experiência pode ser feita deixando-se cair os palitos de uma caixa sobre os ladrilhos de um piso de cozinha.

3. O experimento ainda pode ser usado para calcular um valor aproximado para o número . Depois de obter experimentalmente o valor da probabilidade e medirem o comprimento do palito e a distância entre as retas, eles podem usar a fórmula de Buffon para calcular . Quanto maior o número de quedas de palitos, mais precisa será a estimativa. Já se obteve com 3408 lançamentos o valor 3,1415929. O valor mais utilizado na prática é 3,1416.

Um ímã chamado hidrogênio
Para explicar a ressonância, use o exemplo de alguém pulando sobre um trampolim. A pessoa pula para cima e o trampolim começa a oscilar com determinada freqüência. Ela pode calcular o salto para tocar o trampolim novamente quando este começar a descer. Assim, o pulo e a oscilação terão freqüências iguais ou muito próximas. Resultado: há uma transferência de energia de um para outro e um aumento da amplitude da vibração. Nesse caso, saltador e trampolim estarão em ressonância.

Na ressonância magnética, ocorre algo semelhante com os átomos de hidrogênio do corpo, depois que o paciente é colocado na cavidade do aparelho, como mostram as figuras abaixo.

Pólos desorientados 

Com um próton e um elétron cada, os átomos de hidrogênio presentes no organismo parecem ímãs. O pólo norte de cada um (N) aponta para diferentes direções
Quando o campo magnético do aparelho é ligado (setas B), os átomos alinham-se na mesma direção, como a agulha de uma bússola e giram em torno dessa posição com a mesma freqüência

A energia aumenta

Como o saltador sobre o trampolim, esses átomos absorvem energia ao serem bombardeados por ondas eletromagnéticas (setas Z) com a mesma freqüência que a deles. Enquanto persistir esse bombardeio, os átomos manterão esse nível de energia elevado. É a fase da ressonância magnética

Ondas viram imagens

Cessa o bombardeio. Os átomos voltam ao estado inicial e liberam a energia que receberam em ondas eletromagnéticas que são captadas num receptor...

...e convertidas em sinais elétricos para geração de imagens do interior do corpo
Os átomos se alinham

Consultoria Nilson José Machado
Professor doutor da Faculdade de Educação da USP